Quiz — Nombres réels

Question 1 : À quel ensemble le nombre $-\dfrac{7}{4}$ appartient-il en priorité (le plus petit ensemble qui le contient) ?

• $\mathbb{Z}$
• ✓ $\mathbb{D}$
• $\mathbb{Q}$ mais pas $\mathbb{D}$
• $\mathbb{R}$ mais pas $\mathbb{Q}$

Explication : $-\dfrac{7}{4} = -1{,}75$ a une écriture décimale finie : c'est un nombre décimal. Ce n'est pas un entier. Il est aussi rationnel et réel puisque $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Question 2 : Quel intervalle est représenté en bleu sur la droite graduée ci-dessous (bornes $-1$ et $3$, la borne $-1$ est incluse, la borne $3$ est exclue) ?

• $]-1\,;\, 3[$
• $[-1\,;\, 3]$
• ✓ $[-1\,;\, 3[$
• $]-1\,;\, 3]$

Explication : La borne $-1$ est incluse (crochet fermé $[$) et la borne $3$ est exclue (crochet ouvert $[$) : c'est l'intervalle $[-1\,;\, 3[$, ensemble des réels $x$ tels que $-1 \leq x < 3$.

Question 3 : Lequel de ces nombres appartient à l'intervalle $]2\,;\, 5]$ ?

• $2$
• $5{,}001$
• $1{,}99$
• ✓ $5$

Explication : $]2\,;\, 5]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $2 < x \leq 5$. Le nombre $5$ vérifie $x \leq 5$, il appartient à l'intervalle. Le nombre $2$ est exclu (crochet ouvert), $5{,}001 > 5$ et $1{,}99 < 2$.

Question 4 : Que vaut $[-3\,;\, 4] \cap [1\,;\, 8[$ ?

• ✓ $[1\,;\, 4]$
• $[-3\,;\, 8[$
• $]1\,;\, 4[$
• $[-3\,;\, 1]$

Explication : L'intersection est l'ensemble des réels appartenant aux **deux** intervalles : il faut $-3 \leq x \leq 4$ et $1 \leq x < 8$, donc $1 \leq x \leq 4$. C'est $[1\,;\, 4]$. La réunion serait $[-3\,;\, 8[$.

Question 5 : Quel est l'encadrement de $\sqrt{7}$ d'amplitude $10^{-1}$ ?

• $2{,}5 < \sqrt{7} < 2{,}6$
• ✓ $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$
• $2{,}7 < \sqrt{7} < 2{,}8$
• $2 < \sqrt{7} < 3$

Explication : $2{,}6^2 = 6{,}76 < 7$ et $2{,}7^2 = 7{,}29 > 7$, donc $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$. L'encadrement $2 < \sqrt{7} < 3$ est correct mais d'amplitude $1$.

Question 6 : L'ensemble des réels $x$ tels que $|x - 4| \leq 1{,}5$ est :

• ✓ $[2{,}5\,;\, 5{,}5]$
• $[-1{,}5\,;\, 1{,}5]$
• $]-\infty\,;\, 5{,}5]$
• $[4\,;\, 5{,}5]$

Explication : $|x - 4| \leq 1{,}5$ signifie que la distance entre $x$ et $4$ est inférieure ou égale à $1{,}5$, donc $4 - 1{,}5 \leq x \leq 4 + 1{,}5$ : $x \in [2{,}5\,;\, 5{,}5]$.

Question 7 : Quelle est la distance entre les réels $-2{,}5$ et $3$ sur la droite graduée ?

• $0{,}5$
• $-5{,}5$
• $1{,}5$
• ✓ $5{,}5$

Explication : La distance est $|3 - (-2{,}5)| = |5{,}5| = 5{,}5$. Une distance est toujours positive ou nulle.

Question 8 : Laquelle de ces affirmations est vraie ?

• Tout nombre rationnel est décimal
• ✓ Tout nombre décimal est rationnel
• $\pi$ est un nombre rationnel
• $\sqrt{2}$ est un nombre décimal

Explication : Un décimal $\dfrac{a}{10^n}$ est le quotient de deux entiers, donc rationnel. En revanche $\dfrac{1}{3}$ est rationnel non décimal, et $\pi$, $\sqrt{2}$ sont irrationnels : ils ne sont ni rationnels ni décimaux.

Question 9 : Un terrain mesure $\sqrt{50}$ m de côté, soit environ $7{,}0710678$ m. Quelle valeur est la plus pertinente à communiquer pour une clôture ?

• $7{,}0710678$ m
• $7$ m
• ✓ $7{,}07$ m
• $7{,}0710$ m

Explication : Pour une mesure courante de longueur, arrondir au centimètre ($7{,}07$ m, trois chiffres significatifs) est adapté : $7$ m serait trop imprécis (erreur de $7$ cm), et les autres valeurs donnent une précision illusoire.

Question 10 : Pourquoi $\dfrac{1}{3}$ n'est-il pas un nombre décimal ?

• Parce que $3$ est un nombre premier
• Parce que $0{,}333$ n'est pas égal à $\dfrac{1}{3}$
• ✓ Parce que s'il existait $a$ entier et $n$ tels que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$, on aurait $3a = 10^n$, or $10^n$ n'est pas un multiple de $3$
• Parce que sa calculatrice affiche $0{,}3333333$

Explication : C'est la démonstration par l'absurde du programme : si $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$, alors $10^n = 3a$ serait un multiple de $3$. Or la somme des chiffres de $10^n$ vaut $1$, donc $10^n$ n'est pas divisible par $3$. Contradiction.