Quelle est la différence entre ℕ et ℤ ?

ℕ est l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, 3, …). ℤ est l'ensemble des entiers relatifs, qui contient aussi les entiers négatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2, …). Tout entier naturel est un entier relatif : ℕ ⊂ ℤ.

Comment montrer qu'un nombre est un multiple d'un autre ?

Il faut trouver un entier k tel que a = k × b. Par exemple 91 est un multiple de 7 car 91 = 7 × 13. Pour montrer que ce n'est pas le cas, on effectue la division euclidienne : si le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple.

Comment rendre une fraction irréductible ?

On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, et on recommence jusqu'à ce qu'ils n'aient plus de diviseur commun autre que 1. On peut aussi décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers et simplifier les facteurs communs.

Nombres entiers — BgMaths

Les ensembles ℕ et ℤ

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ est l’ensemble des entiers naturels.
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ est l’ensemble des entiers relatifs.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

On note $a \in \mathbb{Z}$ pour dire « $a$ appartient à $\mathbb{Z}$ » : $-5 \in \mathbb{Z}$ mais $-5 \notin \mathbb{N}$ .

Multiples et diviseurs

Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $b$ divise $a$ ) s’il existe un entier $k$ tel que

$a = k \times b.$

Exemples.

$91$ est un multiple de $7$ car $91 = 13 \times 7$ .
$-24$ est un multiple de $6$ car $-24 = (-4) \times 6$ .
$0$ est un multiple de tout entier car $0 = 0 \times b$ .
Les multiples de $4$ sont $\ldots, -8, -4, 0, 4, 8, 12, \ldots$
Les diviseurs positifs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ .

Division euclidienne (rappel de collège)

Pour tout entier naturel $a$ et tout entier naturel $b \neq 0$ , il existe un unique couple d’entiers $(q, r)$ tel que

$a = bq + r \quad \text{avec } 0 \leq r < b.$

$q$ est le quotient et $r$ le reste. Exemple : $17 = 3 \times 5 + 2$ .

$b$ divise $a$ si et seulement si le reste $r$ est nul.

Critères de divisibilité usuels :

Diviseur	Critère
$2$	dernier chiffre pair
$3$	somme des chiffres divisible par $3$
$5$	dernier chiffre $0$ ou $5$
$9$	somme des chiffres divisible par $9$
$10$	dernier chiffre $0$

Nombres pairs et impairs

Un entier $n$ est pair s’il est un multiple de $2$ : $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .
Un entier $n$ est impair s’il n’est pas pair. Il s’écrit alors $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Tout entier est soit pair, soit impair : $0, 2, 4, -6$ sont pairs ; $1, 3, -7$ sont impairs.

Démonstrations du programme

La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$

Prenons $a = 7$ . Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$ : il existe des entiers $k$ et $k'$ tels que $m = 7k$ et $n = 7k'$ .

$m + n = 7k + 7k' = 7(k + k').$

Comme $k + k'$ est un entier, $m + n$ est un multiple de $7$ . Le même raisonnement fonctionne pour n’importe quelle valeur de $a$ .

Le carré d’un nombre impair est impair

Soit $n$ un entier impair : $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1.$

En posant $k' = 2k^2 + 2k$ (un entier), on obtient $n^2 = 2k' + 1$ : le nombre $n^2$ est impair.

De la même façon, si $n = 2k$ est pair, $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair.

Raisonner avec un contre-exemple

Pour montrer qu’une affirmation est fausse, il suffit d’exhiber un contre-exemple.

« Tout multiple de $3$ est un multiple de $6$ » est fausse : $9$ est un multiple de $3$ mais pas de $6$ .

En revanche, pour montrer qu’une affirmation est vraie pour tous les entiers, vérifier quelques exemples ne suffit pas : il faut une démonstration comme celles ci-dessus.

Fractions irréductibles

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ .

Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie par les diviseurs communs, ou on utilise la décomposition en produit de facteurs premiers (rappel de collège).

Exemple. $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , donc

$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 3 \times 7 \times 2}{2 \times 3 \times 7 \times 3} = \frac{2}{3}.$

Rappel. Un entier $n \geq 2$ est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : $1$ et $n$ . Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ ( $1$ n’est pas premier).

Algorithmes du programme

Déterminer si $a$ est un multiple de $b$

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

est_multiple(91, 7) renvoie True ; est_multiple(92, 7) renvoie False.

Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$

Par division euclidienne : le quotient entier de $b$ par $a$ donne le nombre de fois où $a$ « tient » dans $b$ .

def plus_grand_multiple(a, b):
    return a * (b // a)

plus_grand_multiple(12, 200) renvoie 192 car $200 = 12 \times 16 + 8$ .

On peut aussi procéder par balayage avec une boucle while :

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Modéliser un problème avec les multiples

Un fleuriste veut faire des bouquets identiques avec $84$ roses et $126$ tulipes, sans reste. Combien de bouquets au maximum ?

Le nombre de bouquets doit diviser $84$ et $126$ . Le plus grand diviseur commun est $42$ : on peut faire $42$ bouquets, chacun avec $2$ roses et $3$ tulipes.