Quiz — Nombres entiers

Question 1 : Parmi les nombres suivants, lequel est un multiple de $7$ ?

• $92$
• ✓ $105$
• $113$
• $121$

Explication : $105 = 7 \times 15$, donc $105$ est un multiple de $7$. Les autres ne le sont pas : $92 = 7 \times 13 + 1$, $113 = 7 \times 16 + 1$, $121 = 7 \times 17 + 2$.

Question 2 : Combien le nombre $36$ possède-t-il de diviseurs positifs ?

• $6$
• $8$
• ✓ $9$
• $10$

Explication : Les diviseurs de $36$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ : il y en a $9$. Le diviseur $6$ n'apparaît qu'une fois car $6 \times 6 = 36$.

Question 3 : Soit $n$ un entier. Laquelle de ces expressions est toujours un nombre impair ?

• $n + 1$
• $2n$
• $n^2$
• ✓ $2n + 3$

Explication : $2n + 3 = 2(n + 1) + 1$ est de la forme $2k + 1$, donc impair pour tout entier $n$. En revanche $n + 1$ et $n^2$ dépendent de la parité de $n$, et $2n$ est toujours pair.

Question 4 : Quelle est la forme irréductible de la fraction $\dfrac{84}{126}$ ?

• ✓ $\dfrac{2}{3}$
• $\dfrac{4}{6}$
• $\dfrac{7}{9}$
• $\dfrac{14}{21}$

Explication : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. Le plus grand diviseur commun est $2 \times 3 \times 7 = 42$, et $\dfrac{84}{126} = \dfrac{42 \times 2}{42 \times 3} = \dfrac{2}{3}$. Les fractions $\dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{14}{21}$ sont égales mais ne sont pas irréductibles.

Question 5 : On veut prouver que « la somme de deux multiples de $5$ est un multiple de $5$ ». On écrit $a = 5k$ et $b = 5k'$. Que vaut $a + b$ ?

• ✓ $5(k + k')$, donc un multiple de $5$
• $10kk'$, donc un multiple de $10$
• $5 + k + k'$, on ne peut pas conclure
• $25kk'$, donc un multiple de $25$

Explication : $a + b = 5k + 5k' = 5(k + k')$. Comme $k + k'$ est un entier, $a + b$ est bien un multiple de $5$. C'est la démonstration attendue au programme.

Question 6 : Quel est le plus grand multiple de $12$ inférieur ou égal à $200$ ?

• $180$
• ✓ $192$
• $196$
• $204$

Explication : Division euclidienne : $200 = 12 \times 16 + 8$. Le plus grand multiple de $12$ inférieur ou égal à $200$ est donc $12 \times 16 = 192$. En Python : `12 * (200 // 12)`.

Question 7 : Laquelle de ces affirmations est fausse ? (un contre-exemple suffit)

• Tout multiple de $6$ est un multiple de $3$
• Le produit de deux nombres impairs est impair
• ✓ Tout multiple de $3$ est un multiple de $6$
• La somme de deux nombres impairs est paire

Explication : $9$ est un multiple de $3$ mais pas de $6$ : ce contre-exemple montre que l'affirmation est fausse. Les trois autres sont vraies : $6k = 3(2k)$ ; $(2k+1)(2k'+1) = 2(2kk' + k + k') + 1$ ; $(2k+1) + (2k'+1) = 2(k + k' + 1)$.

Question 8 : On divise un entier $n$ par $8$ : le quotient est $7$ et le reste est $5$. Que vaut $n$ ?

• $54$
• $56$
• $75$
• ✓ $61$

Explication : $n = 8 \times 7 + 5 = 56 + 5 = 61$. On vérifie que le reste $5$ est bien strictement inférieur à $8$.

Question 9 : Si $n$ est impair, que peut-on dire de $n^2$ ?

• $n^2$ est pair
• ✓ $n^2$ est impair
• Cela dépend de $n$
• $n^2$ est un multiple de $4$

Explication : Si $n = 2k + 1$, alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, qui est de la forme $2k'' + 1$ : $n^2$ est impair. Ce n'est pas un multiple de $4$ (par exemple $3^2 = 9$).

Question 10 : Dans un algorithme en Python, quelle condition teste si l'entier `a` est un multiple de l'entier `b` ?

• `a / b == 0`
• `a // b == 0`
• ✓ `a % b == 0`
• `b % a == 0`

Explication : `a % b` donne le reste de la division euclidienne de `a` par `b`. Ce reste est nul exactement quand `a` est un multiple de `b`. L'expression `b % a == 0` testerait l'inverse (`b` multiple de `a`).