Information chiffrée

Proportions et pourcentages

Proportion d’une partie dans un tout

Si une partie $A$ d’effectif $n_A$ est incluse dans un ensemble $E$ d’effectif $n_E$, la proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est

$p = \frac{n_A}{n_E}, \qquad 0 \leq p \leq 1.$

Elle s’exprime sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage ($p \times 100\,\%$).

Exemple. Sur $1\,250$ élèves, $475$ sont en seconde : $p = \dfrac{475}{1250} = 0{,}38 = \dfrac{19}{50} = 38\,\%$.

Trois calculs à savoir faire

On cherche	Formule	Exemple
la proportion	$p = \dfrac{n_A}{n_E}$	$\dfrac{120}{400} = 30\,\%$
la partie	$n_A = p \times n_E$	$30\,\%$ de $400$ : $0{,}3 \times 400 = 120$
le tout	$n_E = \dfrac{n_A}{p}$	$120$ élèves représentent $30\,\%$ : $\dfrac{120}{0{,}3} = 400$

Automatismes. $50\,\% = \dfrac{1}{2}$, $\ 25\,\% = \dfrac{1}{4}$, $\ 20\,\% = \dfrac{1}{5}$, $\ 10\,\% = \dfrac{1}{10}$, $\ 75\,\% = \dfrac{3}{4}$, $\ 12{,}5\,\% = \dfrac{1}{8}$.

Pourcentage de pourcentage

Quand des ensembles sont emboîtés ($A \subset B \subset E$), la proportion de $A$ dans $E$ est le produit des proportions :

$p_{A/E} = p_{A/B} \times p_{B/E}$

Exemple. Dans une entreprise, $60\,\%$ des salariés sont des femmes et $35\,\%$ de ces femmes sont cadres. Proportion de femmes cadres parmi tous les salariés :

$0{,}60 \times 0{,}35 = 0{,}21 = 21\,\%.$

Vérification sur $100$ salariés : $60$ femmes, dont $0{,}35 \times 60 = 21$ cadres.

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Évolutions

Une grandeur passe d’une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$.

Notion	Formule	Exemple ($80$ € $\to$ $92$ €)
variation absolue	$V_2 - V_1$	$+12$ €
coefficient multiplicateur	$CM = \dfrac{V_2}{V_1}$	$1{,}15$
variation relative, ou taux d’évolution	$t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$	$0{,}15 = +15\,\%$

$CM = 1 + t \qquad\qquad V_2 = V_1 \times CM$

• $t > 0$ (donc $CM > 1$) : augmentation ;
• $t < 0$ (donc $CM < 1$) : diminution.

Passer d’une formulation à l’autre (automatisme).

Formulation additive	Formulation multiplicative
augmenter de $5\,\%$	multiplier par $1{,}05$
augmenter de $150\,\%$	multiplier par $2{,}5$
diminuer de $5\,\%$	multiplier par $0{,}95$
diminuer de $30\,\%$	multiplier par $0{,}7$

Exemples.

• Un prix passe de $250$ € à $210$ € : $t = \dfrac{210 - 250}{250} = -0{,}16$, soit une baisse de $16\,\%$.
• Après une remise de $30\,\%$, un manteau coûte $84$ €. Prix initial : $V_1 = \dfrac{84}{0{,}7} = 120$ €.

Proportion ou évolution ?

Un pourcentage peut exprimer une proportion (« $38\,\%$ des élèves sont en seconde ») ou une évolution (« le prix a augmenté de $15\,\%$ »). Une proportion est comprise entre $0$ et $100\,\%$ ; un taux d’évolution peut être négatif ou dépasser $100\,\%$.

Points de pourcentage. Si un taux passe de $8\,\%$ à $10\,\%$, il augmente de $2$ points, ce qui correspond à une évolution relative de $\dfrac{10 - 8}{8} = +25\,\%$.

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Évolutions successives

Pour des évolutions successives de coefficients $CM_1$, $CM_2$, … :

$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \qquad t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1$

Exemple 1. $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $CM = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit $t = -4\,\%$.

Exemple 2. $+10\,\%$ par an pendant $2$ ans : $CM = 1{,}1^2 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ (et non $+20\,\%$).

Les taux ne s’additionnent pas : la seconde évolution s’applique à la valeur déjà modifiée.

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Évolution réciproque

L’évolution réciproque ramène de $V_2$ à $V_1$. Son coefficient est l’inverse du coefficient de départ :

$CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM} \qquad t_{\text{réciproque}} = \frac{1}{1 + t} - 1$

Exemple. Après une hausse de $25\,\%$ ($CM = 1{,}25$), on revient à la valeur initiale avec $CM = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de $20\,\%$.

Exemple. Pour annuler une baisse de $50\,\%$ ($CM = 0{,}5$), il faut multiplier par $2$, soit une hausse de $100\,\%$.

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Lire une évolution sur un graphique

De $2022$ à $2024$ : variation absolue $400 - 320 = 80$ adhérents ; taux d’évolution $\dfrac{80}{320} = +25\,\%$.

De $2022$ à $2023$ : $\dfrac{40}{320} = +12{,}5\,\%$ ; de $2023$ à $2024$ : $\dfrac{40}{360} \approx +11{,}1\,\%$. Même variation absolue, mais taux différents car la valeur de référence change.

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En Python

def taux(v1, v2):
    return (v2 - v1) / v1

def appliquer(v, t):
    return v * (1 + t / 100)

taux(250, 210) renvoie -0.16 ; appliquer(80, 15) renvoie 92.0 ; appliquer(appliquer(100, 20), -20) renvoie 96.0.