Inéquations

Inégalités et opérations

Comparer deux nombres

• Par différence : $a < b \iff a - b < 0$.
• Par rapport (pour $a > 0$ et $b > 0$) : $a < b \iff \dfrac{a}{b} < 1$.

Exemple. $\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{35 - 36}{45} = -\dfrac{1}{45} < 0$, donc $\dfrac{7}{9} < \dfrac{4}{5}$.

Règles sur les inégalités

Opération	Effet sur le sens	Exemple à partir de $2 < 5$
ajouter ou soustraire un même nombre	conservé	$2 + 3 < 5 + 3$
multiplier ou diviser par $k > 0$	conservé	$2 \times 3 < 5 \times 3$
multiplier ou diviser par $k < 0$	inversé	$2 \times (-3) > 5 \times (-3)$
additionner deux inégalités de même sens	conservé	$2 < 5$ et $1 < 3$ donnent $3 < 8$

Règle clé : si $a < b$ et $k < 0$, alors $ka > kb$. Multiplier par un négatif « retourne » la droite graduée.

Lien avec les fonctions affines. La fonction $x \mapsto kx$ est croissante si $k > 0$ (elle conserve l’ordre) et décroissante si $k < 0$ (elle inverse l’ordre).

Somme d’encadrements. Si $2 < x < 5$ et $1 < y < 3$, alors $3 < x + y < 8$. On ne soustrait pas des inégalités membre à membre.

---

Inéquations du premier degré

Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des réels qui la vérifient. On écrit la solution sous forme d’intervalle.

Formes de base

Inéquation	Solution	Exemple
$a + x \geq b$	$x \geq b - a$	$x + 3 \geq 1 \iff x \geq -2$, $S = [-2\,;\, +\infty[$
$ax \geq b$ avec $a > 0$	$x \geq \dfrac{b}{a}$	$3x \geq 12 \iff x \geq 4$
$ax \geq b$ avec $a < 0$	$x \leq \dfrac{b}{a}$	$-2x \geq 8 \iff x \leq -4$

Exemples résolus

Exemple 1. $3x - 5 \leq 7$

$3x \leq 12 \iff x \leq 4 \qquad S = \,]-\infty\,;\, 4]$

Exemple 2. $-2x + 3 > 11$

$-2x > 8 \iff x < -4 \quad (\text{division par } -2 \text{, sens inversé}) \qquad S = \,]-\infty\,;\, -4[$

Exemple 3. $5x - 2 < 2x + 7$

$3x < 9 \iff x < 3 \qquad S = \,]-\infty\,;\, 3[$

Exemple 4. $\dfrac{x - 1}{2} > \dfrac{x + 3}{4}$. On multiplie par $4 > 0$ :

$2(x - 1) > x + 3 \iff 2x - 2 > x + 3 \iff x > 5 \qquad S = \,]5\,;\, +\infty[$

Vérification par une valeur test. Pour $S = \,]-\infty\,;\, -4[$, on prend $x = -5$ : $-2 \times (-5) + 3 = 13 > 11$. Correct.

Lecture graphique

Résoudre $2x - 5 < 3$, c’est chercher les abscisses pour lesquelles la droite $y = 2x - 5$ est en dessous de la droite $y = 3$.

Les droites se coupent en $A(4\,;\, 3)$ ; la droite bleue est en dessous pour $x < 4$. Algébriquement : $2x - 5 < 3 \iff x < 4$.

---

Signe d’une expression affine $ax + b$

L’expression $ax + b$ ($a \neq 0$) s’annule pour $x = -\dfrac{b}{a}$. Elle est du signe de $a$ pour les $x$ plus grands que cette valeur, et du signe contraire avant.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{a}$		$+\infty$
$ax + b$		signe de $-a$	$0$	signe de $a$

Exemples.

• $2x - 6$ : nulle en $3$, négative avant, positive après ($a = 2 > 0$).
• $4 - 2x$ : nulle en $2$, positive avant, négative après ($a = -2 < 0$).

---

Tableau de signes : produit et quotient

Pour résoudre $A(x)B(x) > 0$ ou $\dfrac{A(x)}{B(x)} \leq 0$, on étudie le signe de chaque facteur affine puis on applique la règle des signes.

Exemple 1 : $(x - 1)(x + 3) > 0$

$x$	$-\infty$		$-3$		$1$		$+\infty$
$x + 3$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 1$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x-1)(x+3)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$S = \,]-\infty\,;\, -3[\, \cup \,]1\,;\, +\infty[$

Exemple 2 : $\dfrac{x + 2}{x - 3} \leq 0$

Valeur interdite : $x = 3$ (double barre dans le tableau).

$x$	$-\infty$		$-2$		$3$		$+\infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$		$-$	$-$	$-$	$\Vert$	$+$
quotient		$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$+$

$S = [-2\,;\, 3[$

$-2$ est inclus (le quotient s’annule, et l’inégalité est large), $3$ est exclu (valeur interdite).

---

Intersection et réunion de solutions

• Deux conditions simultanées (« et ») : on prend l’intersection $\cap$.
• Au moins une condition (« ou ») : on prend la réunion $\cup$.

Exemple. $x > 1$ et $x \leq 4$ donnent $x \in \,]1\,;\, 4]$. $\quad$ $x < -3$ ou $x > 1$ donnent $x \in \,]-\infty\,;\, -3[\, \cup \,]1\,;\, +\infty[$.

---

Modéliser par une inéquation

Un forfait A coûte $20$ € par mois. Un forfait B coûte $8$ € par mois plus $0{,}30$ € par appel. À partir de combien d’appels le forfait A est-il le plus avantageux ?

Soit $n$ le nombre d’appels. Le forfait A est moins cher lorsque

$20 < 8 + 0{,}3n \iff 12 < 0{,}3n \iff n > 40.$

Pour $40$ appels, les deux forfaits coûtent $20$ € ; à partir de $41$ appels, A est strictement plus avantageux.