Quiz — Inéquations

Question 1 : Quel est l'ensemble des solutions de $3x - 5 \leq 7$ ?

• ✓ $]-\infty\,;\, 4]$
• $[4\,;\, +\infty[$
• $]-\infty\,;\, 4[$
• $]-\infty\,;\, \dfrac{2}{3}]$

Explication : $3x \leq 12$, donc $x \leq 4$ (division par $3 > 0$, sens conservé). $S = \,]-\infty\,;\, 4]$, crochet fermé car l'inégalité est large.

Question 2 : Quel est l'ensemble des solutions de $-2x + 3 > 11$ ?

• $]4\,;\, +\infty[$
• ✓ $]-\infty\,;\, -4[$
• $]-4\,;\, +\infty[$
• $]-\infty\,;\, 4[$

Explication : $-2x > 8$. On divise par $-2$, ce qui **inverse** le sens : $x < -4$. $S = \,]-\infty\,;\, -4[$. Vérification avec $x = -5$ : $10 + 3 = 13 > 11$.

Question 3 : Résoudre $5x - 2 < 2x + 7$.

• ✓ $x < 3$
• $x > 3$
• $x < \dfrac{5}{3}$
• $x < 9$

Explication : $5x - 2x < 7 + 2$, soit $3x < 9$, donc $x < 3$. $S = \,]-\infty\,;\, 3[$.

Question 4 : Sur quel intervalle l'expression $4 - 2x$ est-elle strictement négative ?

• $]-\infty\,;\, 2[$
• $]-\infty\,;\, -2[$
• $]-2\,;\, +\infty[$
• ✓ $]2\,;\, +\infty[$

Explication : $4 - 2x < 0 \iff -2x < -4 \iff x > 2$. L'expression $4 - 2x$ a un coefficient directeur négatif : elle est positive avant $2$ et négative après.

Question 5 : On sait que $2 < x < 5$ et $1 < y < 3$. Que peut-on affirmer sur $x + y$ ?

• ✓ $3 < x + y < 8$
• $2 < x + y < 5$
• $3 < x + y < 15$
• $1 < x + y < 8$

Explication : On additionne les inégalités membre à membre : $2 + 1 < x + y < 5 + 3$, soit $3 < x + y < 8$.

Question 6 : D'après le graphique, pour quelles valeurs de $x$ la droite $y = 2x - 5$ (bleue) est-elle en dessous de la droite $y = 3$ (orange) ?

• $x > 4$
• $x < -5$
• ✓ $x < 4$
• $x > 3$

Explication : Les deux droites se coupent au point d'abscisse $4$ (car $2x - 5 = 3 \iff x = 4$). À gauche de ce point, la droite bleue est sous la droite orange : $2x - 5 < 3 \iff x < 4$.

Question 7 : Quel est l'ensemble des solutions de $(x - 1)(x + 3) > 0$ ?

• $]-3\,;\, 1[$
• ✓ $]-\infty\,;\, -3[\, \cup \,]1\,;\, +\infty[$
• $]1\,;\, +\infty[$
• $]-\infty\,;\, -3[$

Explication : Tableau de signes : $x - 1$ est négatif avant $1$ et positif après ; $x + 3$ est négatif avant $-3$ et positif après. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe, c'est-à-dire pour $x < -3$ ou $x > 1$.

Question 8 : Quel est l'ensemble des solutions de $\dfrac{x + 2}{x - 3} \leq 0$ ?

• $[-2\,;\, 3]$
• $]-2\,;\, 3[$
• ✓ $[-2\,;\, 3[$
• $]-\infty\,;\, -2] \cup ]3\,;\, +\infty[$

Explication : Valeur interdite : $x = 3$. Le numérateur s'annule en $-2$ (inclus car inégalité large), le quotient est négatif entre $-2$ et $3$. $S = [-2\,;\, 3[$ : $3$ est exclu car il annule le dénominateur.

Question 9 : Un forfait A coûte $20$ € par mois. Un forfait B coûte $8$ € par mois plus $0{,}30$ € par appel. À partir de combien d'appels le forfait A devient-il plus avantageux ?

• À partir de $40$ appels
• À partir de $60$ appels
• À partir de $67$ appels
• ✓ À partir de $41$ appels

Explication : Soit $n$ le nombre d'appels. A est plus avantageux quand $20 < 8 + 0{,}3n$, soit $12 < 0{,}3n$, donc $n > 40$. Pour $40$ appels, les deux coûtent $20$ € ; à partir de $41$ appels, A est strictement moins cher.

Question 10 : Pour comparer $a = \dfrac{7}{9}$ et $b = \dfrac{4}{5}$, on calcule $a - b$. Que trouve-t-on ?

• $a - b = \dfrac{3}{4} > 0$, donc $a > b$
• ✓ $a - b = -\dfrac{1}{45} < 0$, donc $a < b$
• $a - b = \dfrac{1}{45} > 0$, donc $a > b$
• $a - b = 0$, donc $a = b$

Explication : $\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{35 - 36}{45} = -\dfrac{1}{45} < 0$, donc $\dfrac{7}{9} < \dfrac{4}{5}$. On peut aussi comparer le rapport $\dfrac{a}{b} = \dfrac{35}{36} < 1$.