Fractions, puissances et racines carrées

Fractions

Règles de calcul

Pour $b \neq 0$ et $d \neq 0$ :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{\;\frac{a}{b}\;}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad (c \neq 0)$

Automatismes utiles :

$\frac{a}{1} = a \qquad \frac{0}{a} = 0 \qquad \frac{a}{a} = 1 \qquad \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} \qquad \frac{ab}{c} = a \times \frac{b}{c} \qquad \frac{1}{\;\frac{1}{a}\;} = a$

Mise au même dénominateur

$\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12} \qquad\qquad \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$

On additionne des numérateurs, jamais des dénominateurs : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} \neq \dfrac{7}{9}$.

Simplification

On divise numérateur et dénominateur par un diviseur commun pour obtenir une fraction irréductible :

$\frac{18}{24} = \frac{6 \times 3}{6 \times 4} = \frac{3}{4} \qquad\qquad \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

Expressions fractionnaires avec une lettre

Les mêmes règles s’appliquent avec des lettres, à condition de préciser les valeurs interdites :

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x} = \frac{5}{x} \quad (x \neq 0) \qquad\qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{2 + x}{2x} \quad (x \neq 0) \qquad\qquad \frac{x}{3} \times \frac{6}{x} = 2 \quad (x \neq 0)$

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Puissances entières relatives

Pour $a$ réel non nul et $n$ entier naturel non nul :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Exemples. $2^5 = 32$, $\quad 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$, $\quad (-2)^4 = 16$, $\quad (-2)^3 = -8$, $\quad -2^4 = -16$.

Une puissance d’exposant négatif est un inverse, pas un nombre négatif : $10^{-2} = 0{,}01 > 0$.

Règles de calcul

Pour $a, b$ non nuls et $m, n$ entiers relatifs :

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemples.

$2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128 \qquad \frac{3^5}{3^2} = 3^3 = 27 \qquad \frac{2^5 \times 2^{-8}}{2^{-4}} = 2^{5 - 8 + 4} = 2^1 = 2 \qquad (5^2)^3 = 5^6$

Ces règles concernent les produits et quotients. Une somme comme $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ ne se simplifie pas en une puissance de $2$.

Puissances de 10 et écriture scientifique (rappel)

$10^3 = 1000 \qquad 10^{-2} = 0{,}01 \qquad 10^m \times 10^n = 10^{m+n}$

Écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Exemple : $0{,}000045 = 4{,}5 \times 10^{-5}$ ; $3 \times 10^{-3} + 5 \times 10^{-2} = 0{,}003 + 0{,}05 = 0{,}053$.

Algorithme du programme : première puissance dépassant un seuil

Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $3^n > 500$ :

def seuil(a, s):
    n = 0
    while a**n <= s:
        n = n + 1
    return n

seuil(3, 500) renvoie 6 car $3^5 = 243 \leq 500$ et $3^6 = 729 > 500$. Pour un nombre $a$ compris entre $0$ et $1$, on cherche de la même façon la première puissance inférieure à un seuil en remplaçant <= par >=.

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Racines carrées

Définition. Pour $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$ :

$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \sqrt{0} = 0, \quad \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{49} = 7, \quad \sqrt{2} \approx 1{,}414$

$\sqrt{a}$ n’est pas défini pour $a < 0$.

La relation $\sqrt{a^2} = |a|$

Pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{7^2} = 7 \qquad \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|$

Écrire $\sqrt{a^2} = a$ est faux si $a < 0$ : la racine carrée est toujours positive.

Règles de calcul

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad\qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)$

Exemples.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \qquad \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \qquad \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \qquad \sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Piège : $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général. Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Démonstration du programme : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$

Soient $a \geq 0$ et $b \geq 0$. Le nombre $\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ est positif (produit de deux positifs), et son carré vaut

$\left(\sqrt{a}\,\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \left(\sqrt{b}\right)^2 = ab.$

Or $\sqrt{ab}$ est l’unique réel positif dont le carré vaut $ab$. Donc $\sqrt{a}\,\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

Écrire sans racine au dénominateur

Pour $a > 0$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{a}$ :

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \qquad\qquad \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

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Calculs mêlant puissances, racines et fractions

$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \qquad\qquad \left(2\sqrt{5}\right)^2 = 2^2 \times 5 = 20 \qquad\qquad \frac{10^{-3}}{10^{-5}} = 10^2 = 100 \qquad\qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Ordre de grandeur et vraisemblance. Avant de conclure, contrôler le résultat : $\sqrt{75}$ est entre $\sqrt{64} = 8$ et $\sqrt{81} = 9$, ce qui est cohérent avec $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.