Les fonctions de référence

Fonctions affines — $f(x) = mx + p$

Définie sur $\mathbb{R}$, sa courbe est une droite de coefficient directeur $m$ et d’ordonnée à l’origine $p$. Si $p = 0$, la fonction est linéaire (droite passant par l’origine).

• Si $m > 0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Si $m < 0$ : décroissante. Si $m = 0$ : constante.
• $f$ s’annule en $x_0 = -\dfrac{p}{m}$ ($m \neq 0$) et change de signe en $x_0$.

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Fonction valeur absolue — $f(x) = |x|$

La valeur absolue de $x$ est sa distance à $0$ sur la droite graduée :

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \qquad |5| = 5,\quad |-3| = 3,\quad |0| = 0$

Ensemble de définition	$\mathbb{R}$
Signe	$\lvert x \rvert \geq 0$ pour tout $x$ ; $\lvert x \rvert = 0 \iff x = 0$
Variations	Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
Minimum	$0$, atteint en $x = 0$

Courbe : deux demi-droites formant un « V », symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Équations : pour $k > 0$, $|x| = k \iff x = k$ ou $x = -k$. Pour $k < 0$, aucune solution. Et $|x| < k \iff -k < x < k$.

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Fonction carré — $f(x) = x^2$

Ensemble de définition	$\mathbb{R}$
Signe	$x^2 \geq 0$ pour tout $x$ ; $x^2 = 0 \iff x = 0$
Variations	Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
Minimum	$0$, atteint en $x = 0$

Courbe : parabole de sommet $O$, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car $(-x)^2 = x^2$.

Démonstration (variations sur $[0\,;\,+\infty[$). Soient $0 \leq a < b$. Alors $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Or $b - a > 0$ et $b + a > 0$, donc $b^2 - a^2 > 0$, soit $a^2 < b^2$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Sur $]-\infty\,;\,0]$, si $a < b \leq 0$, alors $b - a > 0$ et $b + a < 0$, donc $b^2 - a^2 < 0$ : $f$ est décroissante.

Équations et inéquations : pour $k > 0$,

• $x^2 = k \iff x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ (deux solutions !)
• $x^2 < k \iff -\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$
• $x^2 > k \iff x < -\sqrt{k}$ ou $x > \sqrt{k}$
• $x^2 = k$ avec $k < 0$ : aucune solution.

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Position relative de $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,+\infty[$

Démonstration. $x^2 - x = x(x - 1)$. Pour $0 \leq x \leq 1$, $x \geq 0$ et $x - 1 \leq 0$, donc $x^2 - x \leq 0$ : $x^2 \leq x$. Pour $x \geq 1$, les deux facteurs sont positifs : $x^2 \geq x$.

Entre $0$ et $1$, la parabole est en dessous de la droite $y = x$ ; au-delà de $1$, elle est au-dessus. Les deux courbes se coupent en $O$ et en $(1\,;\,1)$.

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Fonction inverse — $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Ensemble de définition	$\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$
Signe	$\dfrac{1}{x}$ est du signe de $x$
Variations	Décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$

Courbe : hyperbole, formée de deux branches, symétrique par rapport à l’origine. Elle se rapproche des axes sans jamais les toucher.

Démonstration (variations sur $]0\,;\,+\infty[$). Soient $0 < a < b$. Alors $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$. Or $b - a > 0$ et $ab > 0$, donc $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} > 0$, soit $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ : $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$. Le raisonnement est le même sur $]-\infty\,;\,0[$ (on a encore $ab > 0$).

Attention : la fonction inverse n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 2$ et pourtant $\dfrac{1}{-1} = -1 < \dfrac{1}{2}$.

Équation : pour $k \neq 0$, $\dfrac{1}{x} = k \iff x = \dfrac{1}{k}$. Pour $k = 0$, aucune solution.

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Fonction racine carrée — $f(x) = \sqrt{x}$

Ensemble de définition	$[0\,;\,+\infty[$
Signe	$\sqrt{x} \geq 0$
Variations	Strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$

$\sqrt{0} = 0 \qquad \sqrt{1} = 1 \qquad \sqrt{4} = 2 \qquad \sqrt{9} = 3 \qquad \sqrt{2} \approx 1{,}41$

Équation : pour $k \geq 0$, $\sqrt{x} = k \iff x = k^2$ (une seule solution). Pour $k < 0$, aucune solution. Et $\sqrt{x} < k$ ($k > 0$) $\iff 0 \leq x < k^2$.

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Fonction cube — $f(x) = x^3$

Ensemble de définition	$\mathbb{R}$
Signe	$x^3$ est du signe de $x$
Variations	Strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Courbe symétrique par rapport à l’origine, car $(-x)^3 = -x^3$.

Équation : $x^3 = k$ a toujours une unique solution, notée $\sqrt[3]{k}$. Exemples : $x^3 = 8 \iff x = 2$ ; $x^3 = -8 \iff x = -2$.

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Tableau de valeurs

$x$	$-2$	$-1$	$-0{,}5$	$0$	$0{,}5$	$1$	$2$	$3$
$\lvert x \rvert$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0$	$0{,}5$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$4$	$1$	$0{,}25$	$0$	$0{,}25$	$1$	$4$	$9$
$\frac{1}{x}$	$-0{,}5$	$-1$	$-2$	—	$2$	$1$	$0{,}5$	$\approx 0{,}33$
$\sqrt{x}$	—	—	—	$0$	$\approx 0{,}71$	$1$	$\approx 1{,}41$	$\approx 1{,}73$
$x^3$	$-8$	$-1$	$-0{,}125$	$0$	$0{,}125$	$1$	$8$	$27$

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Comparer $f(a)$ et $f(b)$

Pour comparer deux images sans calculer, on utilise le sens de variation sur un intervalle contenant $a$ et $b$ :

• fonction croissante : elle conserve l’ordre ($a < b \implies f(a) < f(b)$) ;
• fonction décroissante : elle renverse l’ordre ($a < b \implies f(a) > f(b)$).

Exemples.

• $2{,}3 < 2{,}5$ et carré croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $2{,}3^2 < 2{,}5^2$.
• $-4 < -3 \leq 0$ et carré décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $(-4)^2 > (-3)^2$.
• $0 < 3 < 7$ et inverse décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{7}$.
• $\sqrt{10} < \sqrt{11}$ car racine carrée croissante.

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Piège classique

$x^2 = 25$ a deux solutions, $\sqrt{25}$ n’en a qu’une.

$\sqrt{25} = 5$ est un nombre (toujours positif). L’équation $x^2 = 25$ a pour solutions $5$ et $-5$. De même, $\sqrt{x^2} = |x|$ et non $x$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.