Quiz — Les fonctions de référence

Question 1 : Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 16$ ?

• $\{4\}$
• $\{8\}$
• $\{256\}$
• ✓ $\{-4\,;\,4\}$

Explication : $4^2 = 16$ et $(-4)^2 = 16$ : l'équation $x^2 = 16$ a deux solutions, $4$ et $-4$. Oublier la solution négative est l'erreur classique.

Question 2 : Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 < 9$ ?

• $]-\infty\,;\,3[$
• ✓ $]-3\,;\,3[$
• $]3\,;\,+\infty[$
• $]-\infty\,;\,-3[\ \cup\ ]3\,;\,+\infty[$

Explication : Sur la parabole, les points d'ordonnée strictement inférieure à $9$ ont une abscisse comprise strictement entre $-3$ et $3$. Solution : $]-3\,;\,3[$.

Question 3 : Résoudre $|x| = 5$.

• $x = 5$ uniquement
• $x = -5$ uniquement
• Aucune solution
• ✓ $x = 5$ ou $x = -5$

Explication : $|x| = 5$ signifie que la distance de $x$ à $0$ vaut $5$ : $x = 5$ ou $x = -5$. En revanche $|x| = -5$ n'aurait aucune solution.

Question 4 : Résoudre $\dfrac{1}{x} = -4$.

• $x = -4$
• $x = 4$
• ✓ $x = -\dfrac{1}{4}$
• $x = \dfrac{1}{4}$

Explication : $\dfrac{1}{x} = -4 \iff x = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4}$. Vérification : $1 \div (-0{,}25) = -4$.

Question 5 : Sans calculatrice, laquelle de ces comparaisons est correcte ?

• $(-3{,}2)^2 < (-3{,}1)^2$
• ✓ $(-3{,}2)^2 > (-3{,}1)^2$
• $(-3{,}2)^2 = (-3{,}1)^2$
• On ne peut pas comparer sans calculer

Explication : $-3{,}2 < -3{,}1 \leq 0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : elle renverse l'ordre, donc $(-3{,}2)^2 > (-3{,}1)^2$. En effet $10{,}24 > 9{,}61$.

Question 6 : On sait que $0 < a < b$. Que peut-on affirmer ?

• $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$
• $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}$
• ✓ $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$
• Cela dépend des valeurs de $a$ et $b$

Explication : La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : elle renverse l'ordre. Donc $a < b \implies \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$. Exemple : $2 < 4$ et $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}$.

Question 7 : La courbe ci-dessous est celle de la fonction inverse. Quelle affirmation est vraie ?

• $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
• $f$ est croissante sur $]0\,;\,+\infty[$
• ✓ $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$
• $f(0) = 0$

Explication : Sur chacune des deux branches, la courbe descend de gauche à droite : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$. Mais pas sur $\mathbb{R}$ tout entier ($f$ n'est même pas définie en $0$).

Question 8 : Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^2 \leq x$ ?

• $x \geq 1$
• ✓ $0 \leq x \leq 1$
• $x \leq 0$
• Tout réel $x$

Explication : $x^2 \leq x \iff x^2 - x \leq 0 \iff x(x - 1) \leq 0$. Le produit est négatif ou nul entre ses racines $0$ et $1$. Graphiquement, la parabole est en dessous de la droite $y = x$ sur $[0\,;\,1]$.

Question 9 : Quel est l'ensemble des solutions de $\sqrt{x} \leq 2$ ?

• ✓ $[0\,;\,4]$
• $]-\infty\,;\,4]$
• $[0\,;\,\sqrt{2}]$
• $[4\,;\,+\infty[$

Explication : La racine carrée est définie pour $x \geq 0$ et croissante, avec $\sqrt{4} = 2$. Donc $\sqrt{x} \leq 2 \iff 0 \leq x \leq 4$. Ne pas oublier la contrainte $x \geq 0$ : l'option $]-\infty\,;\,4]$ est fausse.

Question 10 : Résoudre $x^3 = -8$.

• $x = 2$ ou $x = -2$
• ✓ $x = -2$
• Aucune solution
• $x = 2$

Explication : La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc l'équation $x^3 = k$ a toujours une unique solution. Ici $(-2)^3 = -8$ : $x = -2$. Contrairement au carré, un cube peut être négatif.