Combien de solutions possède l'équation x² = a ?

Cela dépend du signe de a. Si a > 0, il y a deux solutions : √a et −√a. Si a = 0, une seule solution : 0. Si a < 0, aucune solution réelle, car un carré n'est jamais négatif.

Qu'est-ce qu'une valeur interdite ?

C'est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'équation n'a pas de sens, parce qu'elle annule un dénominateur. Par exemple, dans (x + 1)/(x − 2) = 3, la valeur x = 2 est interdite. On la détermine avant de résoudre, et on rejette toute solution qui lui serait égale.

Pourquoi faut-il factoriser pour résoudre une équation comme (x − 1)(x + 4) = 0 ?

Parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On se ramène ainsi à deux équations du premier degré, x − 1 = 0 ou x + 4 = 0. Développer ferait au contraire disparaître cette information.

Équations — BgMaths

Vocabulaire

Résoudre une équation d’inconnue $x$ , c’est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l’égalité est vraie. Ces valeurs forment l’ensemble des solutions, noté $S$ .

$S = \{5\}$ : une seule solution ;
$S = \{-5\,;\, 2\}$ : deux solutions ;
$S = \varnothing$ : aucune solution ;
$S = \mathbb{R}$ : tout réel est solution.

Règles. On ne change pas les solutions d’une équation en :

ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres ;
multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.

Équations du premier degré

Les formes de base

Équation	Résolution	Exemple
$a + x = b$	$x = b - a$	$7 + x = 3 \iff x = -4$
$ax = b$ ( $a \neq 0$ )	$x = \dfrac{b}{a}$	$-4x = 10 \iff x = -\dfrac{5}{2}$
$ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ )	$x = -\dfrac{b}{a}$	$3x - 7 = 0 \iff x = \dfrac{7}{3}$
$\dfrac{a}{x} = b$ ( $b \neq 0$ )	$x = \dfrac{a}{b}$ , avec $x \neq 0$	$\dfrac{6}{x} = 4 \iff x = \dfrac{3}{2}$

La forme $ax + b = cx + d$

On regroupe les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l’autre.

Exemple. $5x - 7 = 2x + 8$

$5x - 2x = 8 + 7 \iff 3x = 15 \iff x = 5 \qquad S = \{5\}$

Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Cas particuliers

$3(x + 2) = 3x + 6$ donne $3x + 6 = 3x + 6$ , vrai pour tout $x$ : $S = \mathbb{R}$ .
$3(x + 2) = 3x + 1$ donne $6 = 1$ , faux : $S = \varnothing$ .

Équations avec fractions

On multiplie les deux membres par un dénominateur commun (non nul).

Exemple. $\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{2x - 1}{5}$ . On multiplie par $15$ :

$5(x + 1) = 3(2x - 1) \iff 5x + 5 = 6x - 3 \iff x = 8 \qquad S = \{8\}$

L’équation $x^2 = a$

Signe de $a$	Solutions	Exemple
$a > 0$	$x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$	$x^2 = 5 \iff x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$
$a = 0$	$x = 0$	$x^2 = 0 \iff x = 0$
$a < 0$	aucune solution	$x^2 = -9$ : $S = \varnothing$

Justification pour $a > 0$ . $x^2 = a \iff x^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \iff (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0$ , et on applique la règle du produit nul.

Ne pas oublier la solution négative : $x^2 = 9$ a pour solutions $3$ et $-3$ .

Équation produit nul

$A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{ou} \quad B(x) = 0$

Exemple 1. $(3x - 6)(x + 5) = 0$

$3x - 6 = 0 \iff x = 2 \qquad \text{ou} \qquad x + 5 = 0 \iff x = -5 \qquad\qquad S = \{-5\,;\, 2\}$

Exemple 2. $(x + 1)^2 = 16$ . On se ramène à un produit nul grâce à $a^2 - b^2$ :

$(x + 1)^2 - 4^2 = 0 \iff (x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = 0 \iff (x - 3)(x + 5) = 0 \qquad S = \{-5\,;\, 3\}$

Exemple 3. $x^2 = 3x$ . Surtout ne pas diviser par $x$ (on perdrait la solution $0$ ) :

$x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \qquad S = \{0\,;\, 3\}$

Si l’équation est de la forme « produit $= 0$ », on ne développe pas : la factorisation est exactement ce dont on a besoin.

Équation quotient et valeurs interdites

Une expression $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ n’est définie que si $B(x) \neq 0$ . Les valeurs qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites : on les détermine avant de résoudre.

Équation $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0$

$\frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{et} \quad B(x) \neq 0$

Exemple. $\dfrac{x - 3}{x + 1} = 0$ . Valeur interdite : $x = -1$ . Puis $x - 3 = 0 \iff x = 3$ , qui n’est pas interdite. $S = \{3\}$ .

Équation $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$

Exemple. $\dfrac{2x + 1}{x - 4} = 3$ . Valeur interdite : $x = 4$ . Pour $x \neq 4$ , on multiplie par $x - 4$ :

$2x + 1 = 3(x - 4) \iff 2x + 1 = 3x - 12 \iff x = 13 \qquad S = \{13\}$

Vérification : $\dfrac{2 \times 13 + 1}{13 - 4} = \dfrac{27}{9} = 3$ .

Exemple avec solution rejetée. $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} + 1$ . Valeur interdite : $x = 2$ . Pour $x \neq 2$ :

$x = 3 + (x - 2) \iff x = x + 1 \iff 0 = 1$

C’est impossible : $S = \varnothing$ .

Modéliser par une équation

Méthode. Choisir l’inconnue, traduire l’énoncé par une égalité, résoudre, puis interpréter la solution dans le contexte.

Un abonnement vidéo coûte $15$ € par mois, plus $2$ € par film loué. Un client a payé $41$ €. Combien de films a-t-il loués ?

Soit $x$ le nombre de films. Le prix est $15 + 2x$ :

$2x + 15 = 41 \iff 2x = 26 \iff x = 13$

Il a loué $13$ films. Vérification : $15 + 2 \times 13 = 41$ .

Un carré a la même aire qu’un rectangle de $4$ cm sur $9$ cm. Quel est son côté ?

$c^2 = 36$ , donc $c = 6$ ou $c = -6$ . Une longueur est positive : le côté mesure $6$ cm. La solution $-6$ est rejetée par le contexte.