Quiz — Équations

Question 1 : Quelle est la solution de l'équation $5x - 7 = 2x + 8$ ?

• $x = \dfrac{1}{3}$
• ✓ $x = 5$
• $x = 3$
• $x = \dfrac{15}{7}$

Explication : $5x - 2x = 8 + 7$, soit $3x = 15$, donc $x = 5$. Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$.

Question 2 : L'ensemble des solutions de $(3x - 6)(x + 5) = 0$ est :

• ✓ $S = \{-5\,;\, 2\}$
• $S = \{-5\,;\, 6\}$
• $S = \{2\}$
• $S = \{5\,;\, -2\}$

Explication : Produit nul : $3x - 6 = 0$ donne $x = 2$ ; $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Donc $S = \{-5\,;\, 2\}$.

Question 3 : Combien l'équation $x^2 = -9$ a-t-elle de solutions réelles ?

• Une seule : $x = -3$
• Deux : $x = 3$ et $x = -3$
• ✓ Aucune
• Une seule : $x = 3$

Explication : Le carré d'un réel est toujours positif ou nul, donc $x^2 = -9$ n'a aucune solution : $S = \varnothing$. Ne pas confondre avec $x^2 = 9$, qui a deux solutions $3$ et $-3$.

Question 4 : L'ensemble des solutions de $x^2 = 5$ est :

• $\{\sqrt{5}\}$
• ✓ $\{-\sqrt{5}\,;\, \sqrt{5}\}$
• $\{2{,}5\}$
• $\{-25\,;\, 25\}$

Explication : $x^2 = 5 \iff x^2 - 5 = 0 \iff (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$, donc $x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$. Oublier la solution négative est l'erreur classique.

Question 5 : Quelle est la valeur interdite de l'équation $\dfrac{2x + 1}{x - 4} = 3$ ?

• $x = -\dfrac{1}{2}$
• $x = 3$
• ✓ $x = 4$
• $x = -4$

Explication : Le dénominateur $x - 4$ s'annule pour $x = 4$ : cette valeur est interdite. La valeur $-\dfrac{1}{2}$ annule le numérateur, ce qui n'est pas un problème.

Question 6 : Résoudre $\dfrac{2x + 1}{x - 4} = 3$ (avec $x \neq 4$). On obtient :

• ✓ $x = 13$
• $x = -13$
• $x = 4$
• $x = \dfrac{11}{5}$

Explication : Pour $x \neq 4$ : $2x + 1 = 3(x - 4) = 3x - 12$, soit $-x = -13$, donc $x = 13$. Cette valeur n'est pas interdite : $S = \{13\}$. Vérification : $\dfrac{27}{9} = 3$.

Question 7 : L'équation $\dfrac{6}{x} = 4$ a pour solution :

• $x = 24$
• $x = \dfrac{2}{3}$
• $x = -2$
• ✓ $x = \dfrac{3}{2}$

Explication : Avec $x \neq 0$ : $6 = 4x$, donc $x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$. Vérification : $6 \div 1{,}5 = 4$.

Question 8 : Pour résoudre $(x + 1)^2 = 16$, quelle démarche est correcte ?

• Développer puis simplifier par $x$
• Écrire $x + 1 = 4$, donc $x = 3$ uniquement
• ✓ Écrire $(x + 1)^2 - 16 = 0$ puis factoriser en $(x - 3)(x + 5) = 0$
• Prendre la racine carrée : $x + 1 = \sqrt{16}$, donc $x = 15$

Explication : $(x + 1)^2 - 4^2 = (x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = (x - 3)(x + 5)$. Produit nul : $x = 3$ ou $x = -5$. L'oubli de la solution $-5$ vient de l'oubli du cas $x + 1 = -4$.

Question 9 : Un abonnement coûte $15$ € par mois plus $2$ € par film loué. Un client a payé $41$ € ce mois-ci. Quelle équation traduit la situation, $x$ étant le nombre de films ?

• $15x + 2 = 41$
• ✓ $2x + 15 = 41$
• $17x = 41$
• $2x - 15 = 41$

Explication : Le prix est $15 + 2x$ ; on résout $2x + 15 = 41$, soit $2x = 26$ et $x = 13$ films. Vérification : $15 + 2 \times 13 = 41$.

Question 10 : Que dire de l'équation $3(x + 2) = 3x + 6$ ?

• Elle n'a aucune solution
• Elle a une seule solution : $x = 0$
• Elle a une seule solution : $x = 2$
• ✓ Tout réel est solution : $S = \mathbb{R}$

Explication : En développant : $3x + 6 = 3x + 6$, égalité vraie pour toute valeur de $x$. L'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$. À l'inverse, $3(x + 2) = 3x + 1$ n'aurait aucune solution ($6 = 1$ est faux).