Droites

Vecteur directeur d’une droite

Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ dont la direction est celle de $d$ : pour deux points distincts $A$ et $B$ de $d$, $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur. Tout vecteur $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) en est aussi un.

Une droite est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur :

$M \in d \iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$

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Équation cartésienne

Théorème. Toute droite du plan a une équation de la forme $ax + by + c = 0$, avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$. Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.

Démonstration (sens direct). Soit $d$ passant par $A(x_A\,;\,y_A)$, de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$. Pour $M(x\,;\,y)$ :

$M \in d \iff \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 \iff (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0 \iff \beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$

C’est bien de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a = \beta$, $b = -\alpha$, $c = \alpha y_A - \beta x_A$. Et $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.

Exemple. Droite passant par $A(2\,;\,-1)$ dirigée par $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $(x - 2) \times 1 - (y + 1) \times 3 = 0 \iff x - 3y - 5 = 0$.

Une équation cartésienne n’est pas unique : $2x - 6y - 10 = 0$ décrit la même droite.

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Équation réduite et pente

Si $b \neq 0$, on peut isoler $y$ : la droite est non verticale et possède une unique équation réduite

$y = mx + p \qquad \text{avec } m = -\frac{a}{b} \text{ et } p = -\frac{c}{b}$

• $m$ est la pente (ou coefficient directeur) : quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $m$. Un vecteur directeur est $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.
• $p$ est l’ordonnée à l’origine : la droite passe par $(0\,;\,p)$.
• $m > 0$ : la droite monte ; $m < 0$ : elle descend ; $m = 0$ : droite horizontale $y = p$.

Si $b = 0$, l’équation devient $x = k$ : droite verticale, sans pente, de vecteur directeur $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Pente à partir de deux points $A$ et $B$ avec $x_A \neq x_B$ :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

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Déterminer une équation de droite

À partir de deux points $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$ :

1. Pente : $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$.
2. $y = 3x + p$ ; avec $A$ : $2 = 3 \times 1 + p$, donc $p = -1$.
3. Équation réduite : $y = 3x - 1$ (vérifier avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$ ✓).

À partir d’un point et de la pente : $A(1\,;\,-3)$, $m = 2$ : $y = 2x + p$, $-3 = 2 + p$, $p = -5$. Donc $y = 2x - 5$.

À partir d’un point et d’un vecteur directeur : on utilise le déterminant (voir la démonstration ci-dessus) ou on lit la pente $m = \dfrac{\beta}{\alpha}$ si $\alpha \neq 0$.

Lire la pente sur une équation cartésienne : $3x + 2y - 4 = 0 \iff y = -\dfrac{3}{2}x + 2$, pente $-\dfrac{3}{2}$, vecteur directeur $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ (ou $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$).

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Tracer une droite

• Équation réduite $y = mx + p$ : placer $(0\,;\,p)$, puis avancer de $1$ et monter de $m$ (ou choisir deux valeurs de $x$ et calculer $y$).
• Équation cartésienne $ax + by + c = 0$ : chercher deux points, souvent ceux sur les axes ($x = 0$ puis $y = 0$).

Exemple. $2x + 3y - 6 = 0$ : pour $x = 0$, $y = 2$ ; pour $y = 0$, $x = 3$. On trace la droite passant par $(0\,;\,2)$ et $(3\,;\,0)$.

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Droites parallèles ou sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul). Sinon, elles sont sécantes (un unique point commun).

Pour deux droites non verticales $y = m_1x + p_1$ et $y = m_2x + p_2$ :

Condition	Position relative
$m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$	confondues
$m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$	strictement parallèles
$m_1 \neq m_2$	sécantes

Exemple. $d_1 : 2x - y + 3 = 0$ et $d_2 : 4x - 2y - 1 = 0$. Vecteurs directeurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, déterminant $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ : parallèles. Formes réduites $y = 2x + 3$ et $y = 2x - \frac{1}{2}$ : distinctes.

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Point d’intersection de deux droites sécantes

On résout le système formé par les deux équations.

Exemple. $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$. $2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2$, puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$. Intersection : $(2\,;\,3)$. Vérification dans $d_2$ : $-2 + 5 = 3$ ✓.

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Alignement de trois points

$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $C$ appartient à la droite $(AB)$, c’est-à-dire $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$. On peut aussi vérifier que les coordonnées de $C$ satisfont l’équation de $(AB)$.

Algorithmes

def equation_droite(xA, yA, xB, yB):
    """Renvoie (m, p) tels que (AB) : y = m x + p, ou None si la droite est verticale."""
    if xA == xB:
        return None
    m = (yB - yA) / (xB - xA)
    p = yA - m * xA
    return (m, p)

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    return (xB - xA) * (yC - yA) - (xC - xA) * (yB - yA) == 0

print(equation_droite(1, 2, 3, 8))     # (3.0, -1.0)
print(alignes(1, 2, 3, 8, 5, 14))      # True

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Piège classique

L’ordonnée à l’origine n’est pas l’ordonnée du point donné.

Pour la droite de pente $3$ passant par $A(1\,;\,5)$, on n’a pas $p = 5$ : $p$ est la valeur de $y$ pour $x = 0$. On écrit $5 = 3 \times 1 + p$, d’où $p = 2$ et $y = 3x + 2$.