Quiz — Droites

Question 1 : Quelle est la pente de la droite passant par $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,-3)$ ?

• ✓ $-\dfrac{2}{3}$
• $-\dfrac{3}{2}$
• $\dfrac{2}{3}$
• $-2$

Explication : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-3 - 1}{4 - (-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. La droite descend : pente négative.

Question 2 : Quelle est l'équation réduite de la droite passant par $A(1\,;\,5)$ et de pente $3$ ?

• $y = 3x + 5$
• ✓ $y = 3x + 2$
• $y = 3x - 2$
• $y = 5x + 3$

Explication : $y = 3x + p$ et $A$ est sur la droite : $5 = 3 \times 1 + p$, donc $p = 2$. Équation : $y = 3x + 2$. Le piège est de prendre $p = y_A = 5$, ce qui n'est vrai que si $x_A = 0$.

Question 3 : Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation $2x - 3y + 6 = 0$ ?

• $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
• ✓ $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Explication : Pour $ax + by + c = 0$ avec $a = 2$, $b = -3$, un vecteur directeur est $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. Vérification : les points $(0\,;\,2)$ et $(3\,;\,4)$ sont sur la droite et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le vecteur $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ n'est pas directeur.

Question 4 : La droite $d$ passe par $A(2\,;\,-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Quelle est son équation cartésienne ?

• $3x + y - 5 = 0$
• ✓ $x - 3y - 5 = 0$
• $x + 3y + 1 = 0$
• $3x - y - 7 = 0$

Explication : $M(x\,;\,y) \in d \iff \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 \iff (x - 2) \times 1 - 3 \times (y + 1) = 0 \iff x - 3y - 5 = 0$. Vérification : $A$ donne $2 + 3 - 5 = 0$ et le vecteur directeur $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est bien $\vec{u}$.

Question 5 : Quelle est l'équation réduite de la droite $4x + 2y - 6 = 0$ ?

• $y = 2x + 3$
• $y = -4x + 6$
• ✓ $y = -2x + 3$
• $y = 2x - 3$

Explication : On isole $y$ : $2y = -4x + 6$, donc $y = -2x + 3$. Pente $-2$, ordonnée à l'origine $3$.

Question 6 : Les droites $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : 4x - 2y + 8 = 0$ sont :

• Sécantes
• Confondues
• ✓ Parallèles et distinctes
• Perpendiculaires

Explication : $d_2$ : $2y = 4x + 8$, soit $y = 2x + 4$. Même pente $2$ que $d_1$ mais ordonnées à l'origine différentes ($-1 \neq 4$) : les droites sont strictement parallèles. Autre méthode : vecteurs directeurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, déterminant $4 - 4 = 0$.

Question 7 : Quel est le point d'intersection des droites $y = 3x - 4$ et $y = -x + 4$ ?

• ✓ $(2\,;\,2)$
• $(0\,;\,4)$
• $(1\,;\,-1)$
• $(4\,;\,0)$

Explication : $3x - 4 = -x + 4 \iff 4x = 8 \iff x = 2$, puis $y = 3 \times 2 - 4 = 2$. Le point $(2\,;\,2)$ vérifie bien les deux équations : $-2 + 4 = 2$.

Question 8 : D'après le graphique ci-dessous, quelle est l'équation réduite de la droite $d$ ?

• $y = 2x + 1$
• ✓ $y = \dfrac{1}{2}x + 1$
• $y = x + 2$
• $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$

Explication : La droite coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,1)$ : $p = 1$. Elle passe aussi par $(2\,;\,2)$ : quand $x$ augmente de $2$, $y$ augmente de $1$, donc $m = \frac{1}{2}$. Équation : $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Question 9 : Quelle est l'équation de la droite passant par $A(3\,;\,-2)$ et $B(3\,;\,5)$ ?

• $y = 3$
• $y = 7x + 3$
• Elle n'a pas d'équation car $x_A = x_B$
• ✓ $x = 3$

Explication : Les deux points ont la même abscisse $3$ : la droite est verticale, d'équation $x = 3$. Elle n'a pas de pente ni d'équation réduite $y = mx + p$, mais elle a bien une équation cartésienne : $x - 3 = 0$.

Question 10 : $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$. Le point $C(5\,;\,13)$ est-il sur la droite $(AB)$ ?

• Oui, car la pente de $(AB)$ est $3$ et $13 = 3 \times 5 - 2$
• ✓ Non, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -2$
• Oui, car $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$
• Non, car $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2$

Explication : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$, $\det = 2 \times 11 - 4 \times 6 = 22 - 24 = -2 \neq 0$ : $C$ n'est pas sur $(AB)$. Autre vérification : $(AB)$ a pour équation $y = 3x - 1$ et $3 \times 5 - 1 = 14 \neq 13$.