Calcul littéral

Développer

Développer, c’est transformer un produit en somme. Réduire, c’est regrouper les termes semblables.

Distributivité

$k(a + b) = ka + kb \qquad\qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemples.

$3(2x - 5) = 6x - 15 \qquad\qquad (2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$

Signe moins devant une parenthèse

$-(a + b) = -a - b \qquad\qquad -(a - b) = -a + b = b - a$

Exemple. $-(2x - 7) + 3(x - 1) = -2x + 7 + 3x - 3 = x + 4$.

Automatismes

$x = 1 \times x \qquad (-1) \times a = -a \qquad 0 \times x = 0 \qquad \frac{x}{1} = x \qquad \frac{ab}{c} = a \times \frac{b}{c}$

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Identités remarquables

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2} \qquad \boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2} \qquad \boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$

Exemples.

$(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \qquad (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \qquad (2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$

Calcul mental. $101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$ ; $\quad 49 \times 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$.

Piège : $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Contre-exemple : $(3 + 4)^2 = 49$ alors que $3^2 + 4^2 = 25$.

Vérifier une égalité, réfuter avec un contre-exemple

Deux expressions littérales sont égales si elles prennent la même valeur pour toute valeur de la variable. Pour montrer qu’une égalité est fausse, un seul contre-exemple suffit :

$2(x + 5) = 2x + 5$ est fausse car pour $x = 1$, $2 \times 6 = 12 \neq 7$.

En revanche, vérifier une égalité pour quelques valeurs ne prouve pas qu’elle est vraie pour toutes : il faut développer.

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Réduire une expression

On regroupe les termes de même nature (les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les constantes ensemble).

$3x^2 - 2x + 5 + x^2 + 4x - 3 = 4x^2 + 2x + 2$

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Factoriser

Factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Facteur commun

$ka + kb = k(a + b) \qquad\qquad ax^2 + bx = x(ax + b) \qquad\qquad ax + bx = (a + b)x$

Exemples.

$6x^2 - 15x = 3x(2x - 5) \qquad\qquad 5x + 7x = 12x \qquad\qquad (x + 2)(x - 1) + (x + 2)(3x + 5) = (x + 2)(4x + 4) = 4(x + 2)(x + 1)$

Le facteur commun peut être une parenthèse entière.

Identités remarquables « à l’envers »

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \qquad a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Exemples.

$25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x + 4)(5x - 4) \qquad\qquad x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

$(x - 3)^2 - 25 = (x - 3)^2 - 5^2 = (x - 3 - 5)(x - 3 + 5) = (x - 8)(x + 2)$

Vérification. On redéveloppe : $(x - 8)(x + 2) = x^2 + 2x - 8x - 16 = x^2 - 6x - 16$, et $(x - 3)^2 - 25 = x^2 - 6x + 9 - 25 = x^2 - 6x - 16$. Les deux formes coïncident.

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Choisir la forme la plus adaptée

Une même expression peut s’écrire sous plusieurs formes. On choisit celle qui convient au problème.

Soit $A(x) = (x - 3)^2 - 25 = x^2 - 6x - 16 = (x - 8)(x + 2)$.

Objectif	Forme adaptée	Résultat
Calculer $A(0)$	développée	$A(0) = -16$
Résoudre $A(x) = 0$	factorisée	$x = 8$ ou $x = -2$ (produit nul)
Résoudre $A(x) = -25$	$(x-3)^2 - 25$	$(x - 3)^2 = 0$, donc $x = 3$
Étudier le signe de $A(x)$	factorisée	tableau de signes

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Isoler une variable dans une formule

Les formules des autres disciplines relient plusieurs variables. On peut exprimer l’une en fonction des autres en appliquant les mêmes opérations aux deux membres, comme pour une équation.

Formule	Variable isolée	Condition
$U = RI$	$I = \dfrac{U}{R}$	$R \neq 0$
$d = vt$	$t = \dfrac{d}{v}$	$v \neq 0$
$S = \pi r^2$	$r = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$	$r \geq 0$
$V = abc$	$c = \dfrac{V}{ab}$	$a \neq 0$, $b \neq 0$
$V = \pi r^2 h$	$h = \dfrac{V}{\pi r^2}$	$r \neq 0$
$P = 2(L + l)$	$l = \dfrac{P}{2} - L$

Relation du premier degré $ax + by = c$

Pour $b \neq 0$, on isole $y$ : $\quad by = c - ax \quad$ donc $\quad y = \dfrac{c - ax}{b}$.

Exemple. $3x + 2y = 12 \iff 2y = 12 - 3x \iff y = 6 - \dfrac{3}{2}x$.

On reconnaît l’expression d’une fonction affine : c’est l’équation réduite d’une droite.

Application numérique

Calculer avec une formule, c’est remplacer chaque variable par sa valeur puis effectuer les opérations dans le bon ordre.

Volume d’un cylindre de rayon $r = 4$ cm et de hauteur $h = 5$ cm : $V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 5 = 80\pi \approx 251$ cm$^3$.

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Modéliser avec le calcul littéral

Un rectangle a un périmètre de $30$ cm. On note $x$ la longueur d’un côté. Exprimer l’aire en fonction de $x$.

Le demi-périmètre vaut $15$, l’autre côté mesure $15 - x$, donc $\mathcal{A}(x) = x(15 - x) = 15x - x^2$.

• Forme factorisée $x(15 - x)$ : l’aire est nulle pour $x = 0$ ou $x = 15$.
• Forme développée $15x - x^2$ : $\mathcal{A}(4) = 60 - 16 = 44$ cm$^2$.