Quiz — Calcul littéral

Question 1 : Développe et réduis $(2x + 3)(x - 4)$.

• $2x^2 - 12$
• ✓ $2x^2 - 5x - 12$
• $2x^2 + 11x - 12$
• $2x^2 - 8x - 12$

Explication : Double distributivité : $2x \times x + 2x \times (-4) + 3 \times x + 3 \times (-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$.

Question 2 : Quelle est la forme développée de $(3x - 2)^2$ ?

• $9x^2 - 4$
• $9x^2 + 4$
• ✓ $9x^2 - 12x + 4$
• $9x^2 - 6x + 4$

Explication : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ : $9x^2 - 2 \times 3x \times 2 + 4 = 9x^2 - 12x + 4$. Oublier le double produit donne $9x^2 - 4$, qui est faux.

Question 3 : Factorise $25x^2 - 16$.

• $(5x - 4)^2$
• $(25x - 16)(25x + 16)$
• $(5x - 16)(5x + 1)$
• ✓ $(5x - 4)(5x + 4)$

Explication : $25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2$ : c'est une différence de deux carrés, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, donc $(5x - 4)(5x + 4)$.

Question 4 : Factorise $6x^2 - 15x$.

• ✓ $3x(2x - 5)$
• $3(2x^2 - 5x)$
• $x(6x - 15)$
• $3x(2x - 15)$

Explication : Le facteur commun à $6x^2$ et $15x$ est $3x$ : $6x^2 - 15x = 3x \times 2x - 3x \times 5 = 3x(2x - 5)$. Les factorisations $3(2x^2 - 5x)$ et $x(6x - 15)$ sont exactes mais incomplètes.

Question 5 : Factorise $(x + 2)(x - 1) + (x + 2)(3x + 5)$.

• ✓ $(x + 2)(4x + 4)$
• $(x + 2)^2(4x + 4)$
• $(x + 2)(3x^2 + 4)$
• $(x + 2)(2x + 6)$

Explication : Le facteur commun est $(x + 2)$ : $(x + 2)\left[(x - 1) + (3x + 5)\right] = (x + 2)(4x + 4)$, que l'on peut encore écrire $4(x + 2)(x + 1)$.

Question 6 : Que vaut $-(2x - 7) + 3(x - 1)$ après réduction ?

• $x - 8$
• ✓ $x + 4$
• $5x - 10$
• $-x + 4$

Explication : $-(2x - 7) = -2x + 7$ et $3(x - 1) = 3x - 3$. Somme : $-2x + 7 + 3x - 3 = x + 4$. L'erreur classique est d'écrire $-(2x - 7) = -2x - 7$.

Question 7 : Dans la formule $d = vt$ (distance, vitesse, temps), comment exprime-t-on $t$ en fonction des autres variables (avec $v \neq 0$) ?

• $t = d - v$
• $t = \dfrac{v}{d}$
• ✓ $t = \dfrac{d}{v}$
• $t = dv$

Explication : On divise les deux membres de $d = vt$ par $v$ : $\dfrac{d}{v} = t$. Vérification avec $d = 100$ km et $v = 50$ km/h : $t = 2$ h.

Question 8 : On veut exprimer $y$ en fonction de $x$ à partir de la relation $3x + 2y = 12$. On obtient :

• $y = 12 - 3x$
• ✓ $y = 6 - \dfrac{3}{2}x$
• $y = \dfrac{12 - 3x}{3}$
• $y = 6 + \dfrac{3}{2}x$

Explication : $2y = 12 - 3x$, donc $y = \dfrac{12 - 3x}{2} = 6 - \dfrac{3}{2}x$. Il ne faut pas oublier de diviser **tout** le membre de droite par $2$.

Question 9 : Laquelle de ces égalités est vraie pour toute valeur de $x$ ?

• $(x + 3)^2 = x^2 + 9$
• $2(x + 5) = 2x + 5$
• $(2x)^2 = 2x^2$
• ✓ $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Explication : $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ est l'identité $a^2 - b^2$. Les autres sont fausses : pour $x = 1$, $(1 + 3)^2 = 16 \neq 10$ ; $2 \times 6 = 12 \neq 7$ ; $(2)^2 = 4 \neq 2$. Un seul contre-exemple suffit.

Question 10 : Soit $A(x) = (x - 3)^2 - 25$. Pour résoudre $A(x) = 0$, la forme la plus adaptée est :

• La forme développée $x^2 - 6x - 16$
• La forme $(x - 3)^2 - 5^2$ sans rien changer
• ✓ La forme factorisée $(x - 8)(x + 2)$
• Peu importe, c'est impossible en seconde

Explication : $(x - 3)^2 - 25 = (x - 3 - 5)(x - 3 + 5) = (x - 8)(x + 2)$. Une équation produit nul se résout immédiatement : $x = 8$ ou $x = -2$. La forme développée ne permet pas de conclure directement.