Variations et extrema de fonctions

Fonctions paires, fonctions impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D$ alors $-x \in D$).

	Définition	Traduction géométrique
$f$ paire	$f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$	courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
$f$ impaire	$f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$	courbe symétrique par rapport à l’origine

Exemples : $x^2$, $|x|$, $\dfrac{1}{x^2}$ sont paires ; $x$, $x^3$, $\dfrac{1}{x}$ sont impaires ; $x^2 + x$ n’est ni paire ni impaire ($f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$).

Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d’étudier $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$ puis d’utiliser la symétrie.

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Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$ (strictement si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points).
• Si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Ce théorème est admis ; il traduit l’idée qu’une pente positive de la tangente indique une montée.

Attention : le résultat s’énonce sur un intervalle. La fonction inverse a une dérivée $-\dfrac{1}{x^2} < 0$ sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$, mais elle n’est pas décroissante sur leur réunion : $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < f(1) = 1$.

Méthode — tableau de variations

1. Calculer $f'(x)$ et la factoriser si possible.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'$ sur chaque intervalle.
3. Remplir le tableau : flèche montante quand $f' > 0$, descendante quand $f' < 0$, valeurs de $f$ aux points où $f'$ s’annule et aux bornes.

Exemple complet

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$

Trinôme de racines $-1$ et $3$, coefficient $3 > 0$ : négatif entre les racines.

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$	$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$

$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$ et $f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$.

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Extremums

Soit $a$ un point intérieur à l’intervalle d’étude. $f$ admet un maximum local en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ proche de $a$ ; un minimum local si $f(x) \geq f(a)$.

Propriété. Si $f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ : la tangente est horizontale en ce point.

Réciproque fausse. $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ mais est strictement croissante : pas d’extremum en $0$.

Condition suffisante. Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe : de $+$ à $-$, maximum local ; de $-$ à $+$, minimum local.

Dans l’exemple ci-dessus, $7$ est un maximum local (atteint en $-1$) et $-25$ un minimum local (atteint en $3$). Ce ne sont pas des extremums globaux puisque $f(10) = 612 > 7$ et $f(-10) = -1208 < -25$.

Extremum sur un intervalle fermé

Sur $[-2\,;\,4]$, on compare $f$ aux bornes et aux points où $f'$ s’annule : $f(-2) = 0$, $f(-1) = 7$, $f(3) = -25$, $f(4) = -18$. Le maximum de $f$ sur $[-2\,;\,4]$ est $7$ et le minimum est $-25$.

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Le second degré revisité par la dérivation

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) : $f'(x) = 2ax + b$, qui s’annule en $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

$a > 0$	$f' < 0$ avant $\alpha$, $f' > 0$ après : minimum en $\alpha$, parabole tournée vers le haut
$a < 0$	$f' > 0$ avant $\alpha$, $f' < 0$ après : maximum en $\alpha$, parabole tournée vers le bas

On retrouve le sommet $S\left(\alpha\,;\,f(\alpha)\right)$ obtenu avec la forme canonique.

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Optimisation

Problème : avec $40$ m de grillage, on clôture un enclos rectangulaire adossé à un mur (un seul côté de longueur $y$ parallèle au mur, deux côtés de longueur $x$). Quelle aire maximale ?

1. Variable et contrainte : $2x + y = 40$, donc $y = 40 - 2x$ avec $0 < x < 20$.
2. Quantité à optimiser : $A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$.
3. Dérivée : $A'(x) = 40 - 4x$, nulle en $x = 10$, positive avant, négative après.
4. Conclusion : aire maximale $A(10) = 200$ m², pour $x = 10$ m et $y = 20$ m.

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Inégalités et position relative de deux courbes

Pour comparer $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ :

• $d(x) > 0$ : $C_f$ au-dessus de $C_g$ ;
• $d(x) < 0$ : $C_f$ en dessous ;
• $d(x) = 0$ : point commun.

Exemple : montrer que $x^3 \geq 3x - 2$ pour tout $x \geq 0$.

$d(x) = x^3 - 3x + 2$, $d'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Sur $[0\,;\,+\infty[$, $d$ décroît sur $[0\,;\,1]$ puis croît : son minimum est $d(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Donc $d(x) \geq 0$, c’est-à-dire $x^3 \geq 3x - 2$, avec égalité seulement en $x = 1$.

Graphiquement, la droite $y = 3x - 2$ est la tangente à la courbe de $x^3$ au point d’abscisse $1$ : une courbe peut rester d’un même côté de sa tangente.

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Algorithme — méthode de Newton

Pour approcher une solution de $f(x) = 0$, on part d’un $x_0$ proche de la solution et on remplace la courbe par sa tangente : l’abscisse où la tangente coupe l’axe des abscisses est

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - (x**2 - 2) / (2 * x)
    return x

newton(2, 4) renvoie environ 1.4142135624, valeur approchée de $\sqrt{2}$ (solution positive de $x^2 - 2 = 0$). La méthode est très rapide dans les cas favorables ; elle peut échouer si $f'(x_n)$ est proche de $0$.

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Pièges classiques

• Le signe de $f'$ donne les variations de $f$, pas son signe : $f' > 0$ ne veut pas dire $f > 0$.
• $f'(a) = 0$ est nécessaire pour un extremum intérieur, pas suffisant.
• Le théorème s’applique sur un intervalle : ne pas conclure sur une réunion d’intervalles.
• Dans un problème d’optimisation, toujours préciser l’intervalle de la variable et vérifier que la solution y appartient.