Quiz — Variations et extrema de fonctions

Question 1 : Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ sur $\mathbb{R}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?

• $]-\infty\,;\,3]$
• ✓ $[3\,;\,+\infty[$
• $[-3\,;\,+\infty[$
• $[6\,;\,+\infty[$

Explication : $f'(x) = 2x - 6$, positif pour $x > 3$ : $f$ est croissante sur $[3\,;\,+\infty[$ et décroissante avant. Elle admet un minimum en $x = 3$.

Question 2 : Soit $g(x) = x^3 - 12x$. Combien d'extremums locaux $g$ admet-elle ?

• Aucun
• Un seul
• ✓ Deux
• Trois

Explication : $g'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$ s'annule en $-2$ et $2$ en changeant de signe : maximum local en $-2$ ($g(-2) = 16$), minimum local en $2$ ($g(2) = -16$).

Question 3 : Soit $f(x) = x^3$. Que peut-on dire de $f$ en $x = 0$ ?

• $f$ admet un minimum en $0$
• $f$ admet un maximum en $0$
• $f'(0) \neq 0$
• ✓ $f'(0) = 0$ mais $f$ n'a pas d'extremum en $0$

Explication : $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ s'annule en $0$ sans changer de signe : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'a pas d'extremum. $f'(a) = 0$ n'est pas une condition suffisante.

Question 4 : Voici le tableau de signes de $f'$ pour une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f' > 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[$, $f' < 0$ sur $]-1\,;\,4[$, $f' > 0$ sur $]4\,;\,+\infty[$. Alors :

• ✓ $f$ admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $4$
• $f$ admet un minimum local en $-1$ et un maximum local en $4$
• $f$ est croissante sur $[-1\,;\,4]$
• $f$ admet deux maximums locaux

Explication : En $-1$, $f'$ passe de $+$ à $-$ : $f$ croît puis décroît, maximum local. En $4$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local.

Question 5 : La fonction $f(x) = 3x^4 - x^2 + 2$ est :

• Impaire
• Ni paire ni impaire
• ✓ Paire
• Paire et impaire

Explication : $f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 + 2 = 3x^4 - x^2 + 2 = f(x)$ : $f$ est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Question 6 : La courbe ci-dessous est celle d'une fonction $f$. Quelle propriété a-t-elle ?

• $f$ est paire
• ✓ $f$ est impaire
• $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
• $f'(0) > 0$

Explication : La courbe est symétrique par rapport à l'origine : $f(-x) = -f(x)$, la fonction est impaire (ici $f(x) = x^3 - 3x$). Elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en $0$ descend ($f'(0) = -3$).

Question 7 : On veut fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de $12$ cm de côté en découpant quatre carrés de côté $x$ aux coins. Le volume est $V(x) = x(12 - 2x)^2$ pour $0 < x < 6$. On admet $V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$. Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ?

• $x = 6$
• $x = 3$
• ✓ $x = 2$
• $x = 4$

Explication : Sur $]0\,;\,6[$, $12 - 2x > 0$, donc $V'$ a le signe de $12 - 6x$ : positif avant $2$, négatif après. $V$ est maximal en $x = 2$, avec $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm³.

Question 8 : Soit $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = 2x$. Quelle est la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ ?

• $C_f$ est en dessous de $C_g$ partout
• ✓ $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sauf en $x = 1$ où elles se touchent
• Les courbes se coupent en deux points
• $C_f$ est au-dessus de $C_g$ pour $x > 0$ seulement

Explication : $f(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \geq 0$, nul seulement en $x = 1$ : $C_f$ est au-dessus de $C_g$, et les deux courbes ont un point commun $(1\,;\,2)$ où $C_g$ est tangente à $C_f$.

Question 9 : Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$. En utilisant la dérivée, on trouve que $f$ admet :

• Un minimum en $x = 2$ valant $3$
• Un maximum en $x = 4$ valant $-5$
• Un minimum en $x = -2$ valant $-29$
• ✓ Un maximum en $x = 2$ valant $3$

Explication : $f'(x) = -4x + 8$ s'annule en $x = 2$, positive avant, négative après : maximum $f(2) = -8 + 16 - 5 = 3$. Cohérent avec $a = -2 < 0$ (parabole tournée vers le bas).

Question 10 : On applique la méthode de Newton à $f(x) = x^2 - 2$ avec $x_0 = 2$. Que vaut $x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ ?

• ✓ $1{,}5$
• $1{,}4$
• $1{,}75$
• $1{,}25$

Explication : $f(2) = 2$, $f'(x) = 2x$ donc $f'(2) = 4$ : $x_1 = 2 - \dfrac{2}{4} = 1{,}5$. Une étape de plus donne $x_2 \approx 1{,}4167$, proche de $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$.