Variables aléatoires

Variable aléatoire réelle

Une expérience aléatoire a pour univers $\Omega$ (fini). Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ : à chaque issue $\omega$ elle associe un nombre $X(\omega)$.

Exemple. On lance deux pièces. $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$. Soit $X$ le nombre de « pile ». Alors $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$, $X(FF) = 0$.

Les notations $\{X = a\}$ et $\{X \leq a\}$

• $\{X = a\}$ est l’événement « $X$ prend la valeur $a$ », c’est-à-dire l’ensemble des issues $\omega$ telles que $X(\omega) = a$.
• $\{X \leq a\}$ est l’événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ».
• $P(X = a)$ et $P(X \leq a)$ désignent leurs probabilités.

Langue naturelle	Écriture symbolique
« Obtenir exactement un pile »	$\{X = 1\}$
« Obtenir au plus un pile »	$\{X \leq 1\}$
« Obtenir au moins un pile »	$\{X \geq 1\}$

Dans l’exemple : $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$.

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Loi d’une variable aléatoire

La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_1, \dots, x_n$ prises par $X$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$.

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Condition : chaque $p_i \in [0\,;\,1]$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Méthode. Pour déterminer une loi : lister les valeurs possibles de $X$, puis calculer la probabilité de chaque événement $\{X = x_i\}$ (arbre, tableau ou dénombrement en situation d’équiprobabilité). Vérifier que la somme vaut 1.

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Espérance

L’espérance de $X$ est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités :

$\boxed{E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\,p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n}$

C’est la valeur moyenne que l’on obtient en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.

Linéarité de l’espérance

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$E(aX + b) = a\,E(X) + b$

Démonstration. La variable $aX + b$ prend les valeurs $a x_i + b$ avec les probabilités $p_i$. Donc $E(aX + b) = \sum (a x_i + b)\,p_i = a \sum x_i p_i + b \sum p_i = a E(X) + b$, car $\sum p_i = 1$.

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Variance et écart type

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - E(X)\right)^2 p_i$

Formule de König-Huygens :

$\boxed{V(X) = E(X^2) - E(X)^2} \qquad \text{avec } E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2\,p_i$

Démonstration. En développant $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ avec $\mu = E(X)$ : $V(X) = \sum x_i^2 p_i - 2\mu \sum x_i p_i + \mu^2 \sum p_i = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$.

L’écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il s’exprime dans la même unité que $X$.

Effet d’une transformation affine : $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$. Ajouter une constante décale les valeurs sans changer leur dispersion.

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Exemple complet

On lance un dé équilibré. On gagne 2 € si on obtient 6, on perd 1 € sinon. $X$ est le gain.

$x_i$	$-1$	$2$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{5}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

$E(X) = (-1) \times \frac{5}{6} + 2 \times \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} = -0{,}5 \text{ €}$

$E(X^2) = 1 \times \frac{5}{6} + 4 \times \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \qquad V(X) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4} \qquad \sigma(X) = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}12 \text{ €}$

En moyenne, le joueur perd 50 centimes par partie.

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Jeu équitable et mise

Le gain algébrique d’un joueur est la somme reçue diminuée de la mise. Un jeu est équitable si l’espérance du gain algébrique est nulle, favorable au joueur si elle est strictement positive, défavorable sinon.

Trouver la mise équitable. Un jeu verse 5 € si le dé donne 6 et rien sinon, contre une mise $m$. Le gain algébrique $G$ vaut $5 - m$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ et $-m$ avec probabilité $\frac{5}{6}$, donc $E(G) = \frac{5 - m}{6} - \frac{5m}{6} = \frac{5}{6} - m$. Le jeu est équitable pour $m = \frac{5}{6}$ €, soit environ 83 centimes. Avec une mise de 2 €, $E(G) = -\frac{7}{6}$ € : le jeu est défavorable au joueur.

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Cas d’une variable à deux valeurs 0 et 1

Si $X$ vaut 1 avec probabilité $p$ (succès) et 0 avec probabilité $1 - p$ (échec) :

$E(X) = p \qquad V(X) = p(1 - p)$

En effet $E(X^2) = 1^2 \times p = p$, donc $V(X) = p - p^2$. Cette situation à deux issues (épreuve de Bernoulli) sera approfondie en terminale.

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Algorithmes et simulation

Espérance et variance à partir d’une loi. Les valeurs et les probabilités sont rangées dans deux listes de même longueur.

def esperance(valeurs, probas):
    s = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        s = s + valeurs[i] * probas[i]
    return s

def variance(valeurs, probas):
    mu = esperance(valeurs, probas)
    carres = [x**2 for x in valeurs]
    return esperance(carres, probas) - mu**2

Simuler la variable et estimer son espérance. Pour le jeu du dé (gain 2 si 6, sinon $-1$) :

from random import randint

def gain():
    if randint(1, 6) == 6:
        return 2
    return -1

def moyenne_echantillon(n):
    total = 0
    for _ in range(n):
        total = total + gain()
    return total / n

Pour $n = 10\,000$, moyenne_echantillon(n) renvoie une valeur proche de $E(X) = -0{,}5$ : la moyenne observée sur un grand échantillon estime l’espérance. En répétant la simulation, on constate que l’écart entre la moyenne et l’espérance diminue quand $n$ augmente, et qu’il est le plus souvent inférieur à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

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Pièges fréquents

• Confondre moyenne des valeurs et espérance. L’espérance pondère chaque valeur par sa probabilité : pour la loi $0, 1, 3$ avec probabilités $0{,}2\,;\,0{,}5\,;\,0{,}3$, $E(X) = 1{,}4$ et non $\frac{0 + 1 + 3}{3}$.
• Oublier la mise dans le gain algébrique.
• Mettre $b$ dans la variance : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, sans $b$.
• Écrire $E(X)^2$ à la place de $E(X^2)$ dans König-Huygens : ce sont deux nombres différents.