Quiz — Variables aléatoires

Question 1 : On lance un dé équilibré et on note $X$ le numéro obtenu. Que désigne l'événement $\{X \leq 2\}$ ?

• Obtenir exactement 2
• ✓ Obtenir 1 ou 2
• Obtenir un nombre pair
• Obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6

Explication : $\{X \leq 2\}$ est l'ensemble des issues pour lesquelles le numéro est inférieur ou égal à 2, donc 1 ou 2. Sa probabilité vaut $P(X \leq 2) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Question 2 : La loi d'une variable aléatoire $X$ est donnée par $P(X = 0) = 0{,}2$, $P(X = 1) = 0{,}5$ et $P(X = 3) = p$. Que vaut $p$ ?

• $0{,}2$
• $0{,}7$
• ✓ $0{,}3$
• On ne peut pas savoir

Explication : La somme des probabilités d'une loi vaut 1 : $0{,}2 + 0{,}5 + p = 1$ donne $p = 0{,}3$.

Question 3 : Avec la loi $P(X = 0) = 0{,}2$, $P(X = 1) = 0{,}5$, $P(X = 3) = 0{,}3$, que vaut $E(X)$ ?

• ✓ $1{,}4$
• $1{,}33$
• $4$
• $0{,}5$

Explication : $E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}5 + 0{,}9 = 1{,}4$. La valeur $1{,}33$ est la moyenne non pondérée des valeurs, ce qui est faux.

Question 4 : Toujours avec cette loi ($E(X) = 1{,}4$), que vaut $V(X)$ ?

• $3{,}2$
• ✓ $1{,}24$
• $1{,}96$
• $1{,}4$

Explication : $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}2 + 1^2 \times 0{,}5 + 3^2 \times 0{,}3 = 0{,}5 + 2{,}7 = 3{,}2$. Par König-Huygens, $V(X) = 3{,}2 - 1{,}4^2 = 3{,}2 - 1{,}96 = 1{,}24$.

Question 5 : Un jeu coûte 2 € : on lance un dé, on gagne 5 € si on obtient un 6 et rien sinon. Soit $G$ le gain algébrique (gain moins mise). Quelle est la loi de $G$ ?

• $P(G = 5) = \frac{1}{6}$ et $P(G = 0) = \frac{5}{6}$
• ✓ $P(G = 3) = \frac{1}{6}$ et $P(G = -2) = \frac{5}{6}$
• $P(G = 3) = \frac{1}{6}$ et $P(G = 0) = \frac{5}{6}$
• $P(G = 5) = \frac{1}{6}$ et $P(G = -2) = \frac{5}{6}$

Explication : Le gain algébrique tient compte de la mise : si on obtient 6, $G = 5 - 2 = 3$ ; sinon $G = 0 - 2 = -2$. Les probabilités sont $\frac{1}{6}$ et $\frac{5}{6}$.

Question 6 : Avec la loi précédente, $E(G) = 3 \times \frac{1}{6} - 2 \times \frac{5}{6}$. Le jeu est-il équitable ?

• Oui, car $E(G) = 0$
• ✓ Non, $E(G) = -\frac{7}{6}$ : il est défavorable au joueur
• Non, $E(G) = \frac{1}{2}$ : il est favorable au joueur
• On ne peut pas conclure sans jouer

Explication : $E(G) = \frac{3}{6} - \frac{10}{6} = -\frac{7}{6} \approx -1{,}17$ €. En moyenne le joueur perd environ 1,17 € par partie : le jeu est défavorable.

Question 7 : Dans le même jeu, quelle mise $m$ rendrait le jeu équitable ?

• ✓ $m = \frac{5}{6}$ €
• $m = 1$ €
• $m = 2{,}5$ €
• $m = 5$ €

Explication : Avec une mise $m$, $E(G) = (5 - m)\frac{1}{6} + (-m)\frac{5}{6} = \frac{5}{6} - m$. L'espérance est nulle pour $m = \frac{5}{6}$ €, soit environ 83 centimes.

Question 8 : Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 4$ et $\sigma(X) = 3$. On pose $Y = 2X - 5$. Que valent $E(Y)$ et $\sigma(Y)$ ?

• $E(Y) = 3$ et $\sigma(Y) = 1$
• ✓ $E(Y) = 3$ et $\sigma(Y) = 6$
• $E(Y) = 8$ et $\sigma(Y) = 6$
• $E(Y) = 3$ et $\sigma(Y) = 36$

Explication : $E(Y) = 2E(X) - 5 = 3$. $V(Y) = 2^2 V(X) = 4 \times 9 = 36$, donc $\sigma(Y) = 6$. Le $-5$ ne modifie pas la dispersion et l'écart type est multiplié par $|2|$.

Question 9 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard. $X$ vaut 1 si elle est rouge et 0 sinon. Que vaut $V(X)$ ?

• $0{,}6$
• $0{,}36$
• ✓ $0{,}24$
• $0{,}4$

Explication : $P(X = 1) = 0{,}6$ et $P(X = 0) = 0{,}4$, donc $E(X) = 0{,}6$ et $E(X^2) = 1^2 \times 0{,}6 = 0{,}6$. $V(X) = 0{,}6 - 0{,}36 = 0{,}24$.

Question 10 : On simule en Python 10 000 réalisations d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $E(X) = 1{,}4$ et on calcule la moyenne des valeurs obtenues. Quel résultat est le plus vraisemblable ?

• Exactement $1{,}4$
• ✓ Une valeur proche de $1{,}4$, par exemple $1{,}39$
• Une valeur proche de la variance
• Une valeur aléatoire sans lien avec $1{,}4$

Explication : La moyenne d'un grand échantillon est proche de l'espérance, sans lui être exactement égale : c'est le principe de l'estimation de l'espérance par une moyenne observée, et la fluctuation d'échantillonnage explique l'écart.