Suites — généralités

Qu’est-ce qu’une suite ?

Une suite numérique associe à chaque entier naturel $n$ (à partir d’un certain rang) un réel noté $u_n$ ou $u(n)$.

• $(u_n)$ ou $(u(n))$ désigne la suite ;
• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou terme d’indice $n$) ;
• le premier terme est souvent $u_0$, parfois $u_1$.

Ne pas confondre $u_{n+1}$ (le terme suivant $u_n$) et $u_n + 1$ (le terme $u_n$ augmenté de 1).

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Modes de génération d’une suite

Formule explicite $u_n = f(n)$

Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ : on peut calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents.

Exemple : $u_n = 3n^2 - 2n + 1$, donc $u_{10} = 300 - 20 + 1 = 281$.

Relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

On donne le premier terme et une relation qui permet de passer d’un terme au suivant.

Exemple : $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$.

$u_1 = \frac{4}{2} + 1 = 3,\qquad u_2 = \frac{3}{2} + 1 = 2{,}5,\qquad u_3 = \frac{2{,}5}{2} + 1 = 2{,}25$

Pour obtenir $u_{20}$, il faut calculer tous les termes précédents : c’est le rôle d’une boucle.

Par un algorithme

def terme(n):
    u = 4
    for k in range(n):
        u = u / 2 + 1
    return u

terme(3) renvoie 2.25. Pour obtenir la liste des premiers termes, on ajoute chaque valeur à une liste :

def premiers_termes(n):
    L = [4]
    for k in range(n):
        L.append(L[-1] / 2 + 1)
    return L

Par un motif géométrique ou un dénombrement

Exemple : on empile des carrés en escalier : la figure de rang $n$ contient $1 + 2 + \cdots + n$ carrés. On peut la décrire de deux façons :

• par récurrence : $c_1 = 1$ et $c_{n+1} = c_n + (n+1)$ ;
• par une formule explicite : $c_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (nombres triangulaires).

Passer d’un mode à l’autre

Pour une suite définie par récurrence, on cherche souvent une formule explicite : elle est immédiate pour les suites arithmétiques et géométriques (voir le cours dédié). Dans les autres cas, on conjecture la formule à partir des premiers termes et on la vérifie.

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Représentation graphique

On représente une suite par le nuage de points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. Les points sont isolés : on ne les relie pas.

Lorsque $u_n = f(n)$, les points du nuage sont situés sur la courbe de $f$.

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Sens de variation

Une suite $(u_n)$ est :

Sens	Condition (pour tout $n$)
croissante	$u_{n+1} \geq u_n$, c’est-à-dire $u_{n+1} - u_n \geq 0$
strictement croissante	$u_{n+1} - u_n > 0$
décroissante	$u_{n+1} - u_n \leq 0$
constante	$u_{n+1} = u_n$

Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes, comme $u_n = (-1)^n$ qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

Méthode 1 — signe de la différence

Exemple : $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.

$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

La suite est strictement croissante.

Méthode 2 — quotient (termes strictement positifs)

Si $u_n > 0$ pour tout $n$ : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \iff u_{n+1} \geq u_n$.

Exemple : $u_n = 3^n$ : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 3 > 1$, suite strictement croissante.

Méthode 3 — fonction associée

Si $u_n = f(n)$ et si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[0\,;\,+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante (resp. décroissante).

Exemple : $u_n = n^2 - 4n$. La fonction $f(x) = x^2 - 4x$ est décroissante sur $[0\,;\,2]$ et croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ : la suite décroît jusqu’au rang $2$ puis croît. Elle n’est pas monotone.

Attention : la réciproque est fausse. $u_n = \sin(2\pi n) = 0$ est constante alors que la fonction sinus n’est pas monotone.

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Vers la notion de limite

Sur des exemples, on observe le comportement des termes quand $n$ devient très grand :

Suite	Premiers termes	Comportement observé
$u_n = \dfrac{1}{n}$	$1 ; 0{,}5 ; 0{,}33 ; 0{,}25 ; \ldots$	se rapproche de $0$ : la suite tend vers $0$
$u_n = n^2$	$0 ; 1 ; 4 ; 9 ; \ldots$	dépasse tout nombre fixé : la suite tend vers $+\infty$
$u_n = 2 + \dfrac{4}{2^n}$	$6 ; 4 ; 3 ; 2{,}5 ; 2{,}25 ; \ldots$	se rapproche de $2$
$u_n = (-1)^n$	$1 ; -1 ; 1 ; -1 ; \ldots$	pas de limite

En première, on conjecture ces limites à l’aide de calculs numériques ; aucune définition formelle n’est attendue.

Algorithme de seuil

Pour savoir à partir de quel rang $u_n = \dfrac{1}{n}$ devient inférieur à $0{,}001$ :

n = 1
while 1 / n >= 0.001:
    n = n + 1
print(n)      # affiche 1001

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Deux suites célèbres (algorithmes)

Suite de Fibonacci : $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Chaque terme dépend des deux précédents : $0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; \ldots$

def fibonacci(n):
    L = [0, 1]
    for k in range(n - 1):
        L.append(L[-1] + L[-2])
    return L

Suite de Syracuse : partant d’un entier $u_0$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}$ si $u_n$ est pair, $u_{n+1} = 3u_n + 1$ sinon. Depuis $u_0 = 6$ : $6 ; 3 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1$.

def syracuse(u):
    L = [u]
    while u != 1:
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3 * u + 1
        L.append(u)
    return L

Factorielle : $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ se calcule par une boucle qui part de p = 1 et multiplie successivement par $1, 2, \ldots, n$. On a $5! = 120$.