Quiz — Suites — généralités

Question 1 : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 2n^2 - 3n + 1$. Que vaut $u_4$ ?

• ✓ $21$
• $29$
• $19$
• $17$

Explication : $u_4 = 2 \times 16 - 12 + 1 = 32 - 12 + 1 = 21$.

Question 2 : Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 5$ et $v_{n+1} = 2v_n - 3$. Que vaut $v_2$ ?

• $7$
• $9$
• ✓ $11$
• $13$

Explication : $v_1 = 2 \times 5 - 3 = 7$, puis $v_2 = 2 \times 7 - 3 = 11$. Piège : $v_2$ n'est pas $2 \times 2 - 3$, la relation porte sur le terme précédent, pas sur $n$.

Question 3 : Soit $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. L'expression de $u_{n+1}$ est :

• $\dfrac{n}{n+2}$
• $\dfrac{n+1}{n+1}$
• ✓ $\dfrac{n+1}{n+2}$
• $\dfrac{n}{n+1} + 1$

Explication : On remplace $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{n+2}$.

Question 4 : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 5 - 3n$. Quel est son sens de variation ?

• Croissante
• ✓ Décroissante
• Constante
• Ni croissante ni décroissante

Explication : $u_{n+1} - u_n = 5 - 3(n+1) - (5 - 3n) = -3 < 0$ pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.

Question 5 : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$ pour tout $n$. Que vaut $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ?

• $1$
• $2^n$
• $n$
• ✓ $2$

Explication : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 > 1$ et $u_n > 0$ : la suite est strictement croissante.

Question 6 : On construit des figures avec des allumettes : la figure n°1 est un triangle (3 allumettes), et chaque figure suivante ajoute un triangle accolé (2 allumettes de plus). Combien d'allumettes pour la figure n°$n$ ?

• $3n$
• ✓ $2n + 1$
• $3 + 2n$
• $n + 2$

Explication : $a_1 = 3$ et $a_{n+1} = a_n + 2$ : $a_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$. Vérification : $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 7$.

Question 7 : Le graphique représente les premiers termes d'une suite $(u_n)$. Que vaut $u_3$ ?

• $3$
• $4$
• $1$
• ✓ $2$

Explication : Le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $2$ : $u_3 = 2$. Attention à ne pas confondre l'abscisse (le rang) et l'ordonnée (la valeur du terme).

Question 8 : Une fonction Python reçoit un entier $n$, initialise `u = 1`, puis pour `k` allant de `1` à `n` (inclus) remplace `u` par `u * k`, et renvoie `u`. Que renvoie-t-elle pour $n = 5$ ?

• $15$
• ✓ $120$
• $25$
• $5$

Explication : Elle calcule $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$, c'est-à-dire $5!$ (factorielle de $5$).

Question 9 : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 3 + \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$. Que peut-on conjecturer sur son comportement quand $n$ devient très grand ?

• ✓ $u_n$ se rapproche de $3$
• $u_n$ devient aussi grand que l'on veut
• $u_n$ se rapproche de $0$
• $u_n$ se rapproche de $4$

Explication : $\dfrac{1}{n}$ devient de plus en plus proche de $0$ : $u_{10} = 3{,}1$, $u_{1000} = 3{,}001$. On conjecture que $(u_n)$ tend vers $3$.

Question 10 : Un algorithme initialise `u = 100` et `n = 0`, puis répète « tant que `u > 1` : `u = u / 2` et `n = n + 1` ». Que vaut `n` à la fin ?

• $6$
• $5$
• $8$
• ✓ $7$

Explication : Les valeurs de $u$ sont $100 ; 50 ; 25 ; 12{,}5 ; 6{,}25 ; 3{,}125 ; 1{,}5625 ; 0{,}78125$. Il faut $7$ divisions pour passer sous $1$ : l'algorithme renvoie $n = 7$. C'est un algorithme de seuil.