Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout entier $n$,

$u_{n+1} = u_n + r$

On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$.

Exemples : $2 ; 5 ; 8 ; 11 ; \ldots$ (raison $3$) ; $10 ; 8{,}5 ; 7 ; 5{,}5 ; \ldots$ (raison $-1{,}5$).

Terme général

$\boxed{u_n = u_0 + nr} \qquad \text{et plus généralement} \qquad u_n = u_p + (n-p)\,r$

Démonstration. Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $r$ à chaque étape, et il y a $n$ étapes ($u_0 \to u_1 \to \cdots \to u_n$). En sommant les $n$ égalités $u_1 - u_0 = r$, $u_2 - u_1 = r$, …, $u_n - u_{n-1} = r$, tous les termes intermédiaires se simplifient : $u_n - u_0 = nr$.

Lien avec les fonctions affines

$u_n = rn + u_0$ : les points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés sur la droite d’équation $y = rx + u_0$, de coefficient directeur $r$. Une suite arithmétique modélise une évolution à accroissement constant (croissance linéaire).

Sens de variation

$u_{n+1} - u_n = r$, donc :

$r > 0$	strictement croissante
$r < 0$	strictement décroissante
$r = 0$	constante

Somme $1 + 2 + \cdots + n$

$\boxed{1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$

Démonstration. On écrit la somme $S$ dans les deux sens et on additionne : $\begin{array}{rcccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+& \cdots &+& 1 \\ \hline 2S &=& (n+1) &+& (n+1) &+& \cdots &+& (n+1) \end{array}$ Il y a $n$ parenthèses, donc $2S = n(n+1)$.

Somme de termes consécutifs

$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}$

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. Cela découle de la formule précédente : $\sum_{k=0}^{n}(u_0 + kr) = (n+1)u_0 + r\,\frac{n(n+1)}{2}$.

Exemple : $S = 5 + 8 + 11 + \cdots + 50$ (raison $3$). Nombre de termes : $\dfrac{50 - 5}{3} + 1 = 16$. Donc $S = 16 \times \dfrac{5 + 50}{2} = 440$.

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Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier $n$,

$u_{n+1} = q \times u_n$

On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.

Exemples : $3 ; 6 ; 12 ; 24 ; \ldots$ (raison $2$) ; $100 ; 50 ; 25 ; 12{,}5 ; \ldots$ (raison $0{,}5$).

Terme général

$\boxed{u_n = u_0 \times q^n} \qquad \text{et plus généralement} \qquad u_n = u_p \times q^{\,n-p}$

Démonstration. De $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$ : $u_n = u_0 \times \underbrace{q \times q \times \cdots \times q}_{n \text{ facteurs}} = u_0\,q^n$.

Lien avec les évolutions à taux constant

Une hausse de $t\,\%$ multiplie par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; une baisse de $t\,\%$ multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$. Une évolution à taux constant se modélise donc par une suite géométrique de raison égale au coefficient multiplicateur.

Exemple : un capital de $1\,000$ € placé à $3\,\%$ par an.

$C_0 = 1000,\qquad C_{n+1} = 1{,}03\,C_n,\qquad C_n = 1000 \times 1{,}03^n$

Après $10$ ans : $C_{10} = 1000 \times 1{,}03^{10} \approx 1343{,}92$ €. Le taux d’évolution global sur $10$ ans est $1{,}03^{10} - 1 \approx 34{,}4\,\%$ (et non $30\,\%$).

Lien avec la fonction exponentielle. La suite $u_n = q^n$ est la version « à temps discret » d’une croissance exponentielle : pour $q > 1$ la croissance finit toujours par dépasser une croissance linéaire.

Sens de variation (premier terme $u_0 > 0$)

$u_{n+1} - u_n = u_0\,q^n(q - 1)$, d’où :

$q > 1$	strictement croissante
$0 < q < 1$	strictement décroissante, les termes se rapprochent de $0$
$q = 1$	constante
$q < 0$	ni croissante ni décroissante (signes alternés)

Si $u_0 < 0$, les sens de variation sont inversés.

Somme $1 + q + q^2 + \cdots + q^n$

Pour $q \neq 1$ :

$\boxed{1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}}$

Démonstration. Soit $S = 1 + q + \cdots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}$. En soustrayant, tous les termes se simplifient sauf deux : $S - qS = 1 - q^{n+1}$, soit $(1-q)S = 1 - q^{n+1}$.

Somme de termes consécutifs

$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \qquad (q \neq 1)$

Exemple : $S = 3 + 6 + 12 + \cdots + 3 \times 2^9$ ($u_0 = 3$, $q = 2$, $10$ termes).

$S = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1023 = 3069$

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Reconnaître une suite

Test	Conclusion si constante
$u_{n+1} - u_n$	arithmétique, la constante est $r$
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes non nuls)	géométrique, la constante est $q$

Exemple : $u_n = 5 \times 3^n$. $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 3^{n+1}}{5 \times 3^n} = 3$ : géométrique de raison $3$.

Contre-exemple : $w_n = n^2$ : $w_0 = 0$, $w_1 = 1$, $w_2 = 4$. Différences $1$ puis $3$ : pas arithmétique ; quotient non défini ou $4$ : pas géométrique.

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Modéliser une situation

Contexte	Type de suite	Relation
Abonnement : $30$ € puis $12$ € par mois	arithmétique	$u_{n+1} = u_n + 12$
Capital à $3\,\%$ par an (intérêts composés)	géométrique	$C_{n+1} = 1{,}03\,C_n$
Population qui perd $5\,\%$ par an	géométrique	$P_{n+1} = 0{,}95\,P_n$
Décroissance radioactive : la moitié disparaît à chaque période	géométrique	$N_{n+1} = 0{,}5\,N_n$

Algorithme de seuil

Au bout de combien d’années le capital $C_n = 1000 \times 1{,}03^n$ dépasse-t-il $2\,000$ € ?

C = 1000
n = 0
while C <= 2000:
    C = C * 1.03
    n = n + 1
print(n)      # affiche 24

Le capital double au bout de $24$ ans : c’est une conjecture sur la limite (ici $+\infty$) obtenue numériquement.

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Pièges classiques

• Le nombre de termes de $u_p + \cdots + u_n$ est $n - p + 1$, pas $n - p$.
• Deux hausses successives de $10\,\%$ ne font pas $20\,\%$ mais $1{,}1^2 - 1 = 21\,\%$.
• $u_n = u_0 \times q^n$ : c’est $q$ qui est élevé à la puissance $n$, pas $u_0$.
• Pour une suite géométrique de raison négative, ne pas parler de croissance ou de décroissance.