Quiz — Suites arithmétiques et géométriques

Question 1 : Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -3$. Que vaut $u_{10}$ ?

• ✓ $-23$
• $-20$
• $37$
• $-26$

Explication : $u_{10} = u_0 + 10r = 7 + 10 \times (-3) = 7 - 30 = -23$.

Question 2 : Soit $(v_n)$ géométrique avec $v_1 = 6$ et $v_2 = 18$. Que vaut $v_4$ ?

• $54$
• ✓ $162$
• $72$
• $486$

Explication : La raison est $q = \dfrac{v_2}{v_1} = 3$. Puis $v_4 = v_2 \times q^2 = 18 \times 9 = 162$.

Question 3 : Que vaut $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ ?

• $20\,000$
• $40\,200$
• ✓ $20\,100$
• $10\,050$

Explication : $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 200$ : $\dfrac{200 \times 201}{2} = 20\,100$.

Question 4 : Que vaut $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}$ ?

• $1023$
• $1024$
• $2048$
• ✓ $2047$

Explication : $S = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$. Il y a $11$ termes (de $2^0$ à $2^{10}$).

Question 5 : Un capital de $2\,000$ € est placé à $4\,\%$ par an à intérêts composés. Le capital $C_n$ après $n$ années vérifie :

• $C_n = 2000 + 80n$
• $C_n = 2000 \times 0{,}04^n$
• ✓ $C_n = 2000 \times 1{,}04^n$
• $C_n = 2000 \times 1{,}4^n$

Explication : Chaque année le capital est multiplié par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$ : suite géométrique de raison $1{,}04$, donc $C_n = 2000 \times 1{,}04^n$. L'option $2000 + 80n$ correspondrait à des intérêts simples (accroissement constant).

Question 6 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 5 \times 0{,}8^n$. Quel est son sens de variation ?

• ✓ Décroissante
• Croissante
• Constante
• Alternée

Explication : Suite géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $5 > 0$ : comme $0 < 0{,}8 < 1$, elle est décroissante. Ses termes se rapprochent de $0$.

Question 7 : La suite $(w_n)$ est définie par $w_n = 3n^2 + 1$. Elle est :

• Arithmétique de raison $3$
• Géométrique de raison $3$
• Arithmétique de raison $6$
• ✓ Ni arithmétique ni géométrique

Explication : $w_0 = 1$, $w_1 = 4$, $w_2 = 13$ : les différences $3$ et $9$ ne sont pas égales (pas arithmétique), les quotients $4$ et $\frac{13}{4}$ non plus (pas géométrique).

Question 8 : Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$. Quelle est sa raison ?

• $4$
• $12$
• ✓ $3$
• $2$

Explication : $u_7 = u_3 + 4r$, donc $23 = 11 + 4r$, soit $r = 3$.

Question 9 : Le graphique montre les premiers termes d'une suite. Laquelle des affirmations est correcte ?

• La suite est géométrique de raison $2$
• ✓ La suite est arithmétique de raison $2$
• La suite est arithmétique de raison $1$
• La suite est géométrique de raison $3$

Explication : Les points sont alignés et l'ordonnée augmente de $2$ à chaque rang ($1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9$) : suite arithmétique de raison $2$. Des points alignés caractérisent une suite arithmétique.

Question 10 : Une population de bactéries triple chaque heure ; il y en a $100$ au départ. Un algorithme calcule le plus petit $n$ tel que la population dépasse $10\,000$. Il initialise `p = 100` et `n = 0`, puis tant que `p <= 10000` : `p = 3 * p` et `n = n + 1`. Que renvoie-t-il ?

• $4$
• $6$
• $3$
• ✓ $5$

Explication : $100 \times 3^4 = 8100 \leq 10\,000$ et $100 \times 3^5 = 24\,300 > 10\,000$ : la boucle s'arrête après $5$ multiplications, $n = 5$.