Second degré

Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = ax^2 + bx + c \qquad (a \neq 0)$$

où $a$, $b$, $c$ sont des réels. Sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

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Forme factorisée : racines et signe

Quand $f$ s’écrit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f$ : $f(x_1) = f(x_2) = 0$.

Signe. Un produit de deux facteurs du premier degré se lit dans un tableau de signes : $f$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.

Exemple : $f(x) = -3(x-1)(x+2)$, racines $1$ et $-2$, $a = -3 < 0$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Somme et produit des racines

En développant $a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a x_1 x_2$ et en identifiant avec $ax^2+bx+c$ :

$\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$

Application (calcul mental) : les racines de $x^2 - 5x + 6$ ont pour somme $5$ et pour produit $6$ : ce sont $2$ et $3$, donc $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Trinômes s’annulant en deux réels donnés

Les fonctions polynômes du second degré qui s’annulent en $x_1$ et $x_2$ (distincts) sont exactement les $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a \neq 0$. Une condition supplémentaire (par exemple $f(0)$) permet de fixer $a$.

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Forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{b}{2a},\quad \beta = f(\alpha)$

Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole, et la droite $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

Méthode — complétion du carré

On utilise l’identité $x^2 + 2ux = (x+u)^2 - u^2$.

Exemple : $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$.

1. Factoriser par $a$ : $f(x) = 3(x^2 - 2x) + 5$
2. Compléter le carré : $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$
3. Conclure : $f(x) = 3(x-1)^2 - 3 + 5 = \boxed{3(x-1)^2 + 2}$

Sommet $S(1\,;\,2)$ : $f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$ (car $a = 3 > 0$).

Variations

$a > 0$	$f$ décroissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$, croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ : minimum $\beta$
$a < 0$	$f$ croissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$, décroissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ : maximum $\beta$

Lien avec la dérivation. $f'(x) = 2ax + b$ s’annule en $x = -\frac{b}{2a}$ : on retrouve l’abscisse du sommet.

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Discriminant et résolution de $ax^2 + bx + c = 0$

Démonstration (à connaître)

Dans le cas général, la complétion du carré donne

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$

On pose le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Alors $f(x) = 0 \iff \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$.

• Si $\Delta < 0$ : un carré ne peut pas être strictement négatif, aucune solution.
• Si $\Delta = 0$ : $x + \dfrac{b}{2a} = 0$, une solution double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$ : $x + \dfrac{b}{2a} = \pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Factorisation associée

$\Delta$	Racines	Forme factorisée
$\Delta > 0$	$x_1 \neq x_2$	$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
$\Delta = 0$	$x_0$ double	$f(x) = a(x-x_0)^2$
$\Delta < 0$	aucune	pas de factorisation dans $\mathbb{R}$

Exemple : $2x^2 - 5x + 3 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$, $x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1$, $x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2}$. Donc $2x^2 - 5x + 3 = 2(x-1)\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = (x-1)(2x-3)$.

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Signe d’un trinôme et inéquations

Règle : $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe opposé entre les racines. Si $\Delta < 0$, il est du signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$.

Exemple : résoudre $2x^2 - 5x + 3 \leq 0$. Racines $1$ et $\dfrac{3}{2}$, $a > 0$ : le trinôme est négatif ou nul entre les racines.

$\mathcal{S} = \left[1\,;\,\frac{3}{2}\right]$

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Choisir la bonne stratégie de factorisation

Situation	Méthode	Exemple
Pas de terme constant	factoriser par $x$	$x^2 - 5x = x(x-5)$
Pas de terme en $x$	différence de carrés	$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
Identité remarquable	reconnaître le carré	$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
Racine évidente ($0$, $1$, $-1$, $2$…)	l’autre racine par le produit $\frac{c}{a}$	$x^2 + x - 6$ : $2$ est racine, l’autre vaut $-6/2 = -3$
Racines entières	somme $-\frac{b}{a}$ et produit $\frac{c}{a}$	$x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$
Sinon	discriminant	$2x^2 - 5x + 3$

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Choisir la forme adaptée

Question	Forme à utiliser
Racines, signe, inéquation	factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$
Extremum, variations, sommet	canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$
Ordonnée à l’origine, discriminant	développée $ax^2 + bx + c$

Problème d’optimisation : un rectangle a un périmètre de $20$ cm ; quelle est son aire maximale ? Avec un côté $x$, l’autre vaut $10 - x$ et l’aire est $A(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x$, pour $0 < x < 10$. Forme canonique : $A(x) = -(x-5)^2 + 25$. L’aire est maximale pour $x = 5$ (un carré) et vaut $25$ cm².

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Pièges classiques

• $x^2 = 9$ a deux solutions, $3$ et $-3$ ; et $x^2 \leq 9 \iff -3 \leq x \leq 3$.
• Ne jamais diviser une équation par $x$ : on perd la solution $x = 0$.
• $\Delta < 0$ ne veut pas dire « le trinôme est négatif » : il est du signe de $a$.
• Les formules des racines exigent l’écriture $ax^2 + bx + c = 0$ avec tout dans le membre de gauche.