Quiz — Second degré

Question 1 : Soit $f(x) = 2(x-1)(x+3)$. Sur quel ensemble a-t-on $f(x) < 0$ ?

• $]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$
• ✓ $]-3\,;\,1[$
• $]-1\,;\,3[$
• $]1\,;\,3[$

Explication : Les racines sont $1$ et $-3$ et $a = 2 > 0$. Le trinôme est négatif entre ses racines : $f(x) < 0 \iff -3 < x < 1$.

Question 2 : Combien l'équation $x^2 - 6x + 10 = 0$ admet-elle de solutions réelles ?

• Deux
• Une seule
• ✓ Aucune
• Une infinité

Explication : $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 10 = 36 - 40 = -4 < 0$ : aucune solution réelle. On peut aussi écrire $x^2-6x+10 = (x-3)^2 + 1 > 0$.

Question 3 : Quelles sont les racines de $x^2 - 7x + 12$ ?

• $-3$ et $-4$
• ✓ $3$ et $4$
• $2$ et $6$
• $1$ et $12$

Explication : On cherche deux nombres de somme $-b/a = 7$ et de produit $c/a = 12$ : ce sont $3$ et $4$. Vérification : $(x-3)(x+4)$ donnerait $x^2+x-12$, non ; $(x-3)(x-4) = x^2-7x+12$, oui.

Question 4 : La forme canonique de $f(x) = x^2 + 6x + 1$ est :

• ✓ $(x+3)^2 - 8$
• $(x+3)^2 + 1$
• $(x-3)^2 - 8$
• $(x+6)^2 - 35$

Explication : $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$, donc $f(x) = (x+3)^2 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$.

Question 5 : Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Que peut-on dire de $f$ ?

• $f$ admet un minimum en $x = 2$
• $f$ admet un maximum en $x = -2$
• ✓ $f$ admet un maximum égal à $5$
• $f$ admet un minimum égal à $-3$

Explication : $a = -2 < 0$ : parabole tournée vers le bas, donc $f$ admet un maximum en $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{-4} = 2$, qui vaut $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$.

Question 6 : Une parabole est représentée ci-dessous. Quelle expression peut correspondre à cette fonction ?

• $f(x) = -(x+1)(x-3)$
• $f(x) = (x-1)(x+3)$
• ✓ $f(x) = (x+1)(x-3)$
• $f(x) = (x+1)^2 - 4$

Explication : La courbe coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $3$ et est tournée vers le haut ($a > 0$) : $f(x) = a(x+1)(x-3)$ avec $a > 0$. L'option $-(x+1)(x-3)$ a les bonnes racines mais est tournée vers le bas ; $(x-1)(x+3)$ s'annule en $1$ et $-3$ ; $(x+1)^2 - 4 = (x+3)(x-1)$ aussi.

Question 7 : On veut résoudre $x^2 - 5x = 0$. La méthode la plus rapide est :

• Calculer $\Delta = 25$ puis les deux racines
• ✓ Factoriser par $x$ : $x(x-5) = 0$
• Diviser par $x$ pour obtenir $x = 5$
• Mettre sous forme canonique

Explication : Il n'y a pas de terme constant : on factorise directement $x(x-5) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 5$. Diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$.

Question 8 : Le trinôme $f(x) = 3x^2 + 2x + 5$ est :

• ✓ Positif pour tout réel $x$
• Négatif pour tout réel $x$
• Positif seulement à l'extérieur de ses racines
• Nul en $x = -\frac{1}{3}$

Explication : $\Delta = 4 - 60 = -56 < 0$ : pas de racine, donc $f$ garde le signe de $a = 3 > 0$ sur tout $\mathbb{R}$.

Question 9 : Résoudre l'inéquation $x^2 \leq 9$.

• $x \leq 3$
• $x \leq -3$ ou $x \geq 3$
• $x \leq \sqrt{3}$
• ✓ $-3 \leq x \leq 3$

Explication : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \leq 0$ : produit négatif ou nul entre les racines $-3$ et $3$. Piège classique : $x^2 \leq 9$ n'équivaut pas à $x \leq 3$.

Question 10 : Quelle fonction polynôme du second degré s'annule en $2$ et en $-5$ et vérifie $f(0) = 20$ ?

• $f(x) = (x-2)(x+5)$
• $f(x) = 2(x-2)(x+5)$
• $f(x) = -2(x+2)(x-5)$
• ✓ $f(x) = -2(x-2)(x+5)$

Explication : $f(x) = a(x-2)(x+5)$ et $f(0) = a \times (-2) \times 5 = -10a = 20$, donc $a = -2$.