Quelle méthode choisir pour calculer un produit scalaire ?

Cela dépend des données. Avec des coordonnées dans un repère orthonormé : $xx' + yy'$. Avec deux longueurs et l'angle entre les vecteurs : $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$. Avec un projeté orthogonal facile à lire sur une figure (carré, rectangle) : la formule de projection. Avec seulement des longueurs : $\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

Le produit scalaire est-il un vecteur ?

Non, c'est un nombre réel (un « scalaire »), qui peut être positif, négatif ou nul. Il est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul.

À quoi sert la formule d'Al-Kashi ?

Elle généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$. Elle permet de calculer un côté connaissant les deux autres et l'angle entre eux, ou un angle connaissant les trois côtés.

Produit scalaire

Définition par projection orthogonale

Soit $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ deux vecteurs non nuls, et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$ .

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} = \begin{cases} OA \times OH & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ ont le même sens} \\ -\,OA \times OH & \text{sinon} \end{cases}}$

Si l’un des vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . Le produit scalaire est un nombre réel.

Formule avec le cosinus

Dans le triangle $OHB$ rectangle en $H$ , $OH = OB\,|\cos\theta|$ où $\theta = \widehat{AOB}$ , et le signe correspond à celui de $\cos\theta$ . D’où :

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v})}$

Exemple : $\|\vec{u}\| = 2$ , $\|\vec{v}\| = 5$ , angle $\dfrac{2\pi}{3}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -5$ .

Cas particuliers

$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (angle nul), noté aussi $\vec{u}^{\,2}$ .
Vecteurs colinéaires de même sens : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ ; de sens contraires : $-\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ .

Orthogonalité

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

En effet, pour des vecteurs non nuls, $\cos(\vec{u},\vec{v}) = 0 \iff (\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\pi}{2}$ (à $\pi$ près). Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et tout réel $k$ :

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$

On développe donc comme en calcul algébrique. Identités remarquables :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$

Calcul à l’aide des normes seules

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans les deux premières identités :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$

Exemple : dans un triangle $ABC$ avec $AB = 4$ , $AC = 5$ , $BC = 6$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) = \dfrac{1}{2}(16 + 25 - 36) = \dfrac{5}{2}$ , puisque $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .

Expression en base orthonormée

Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ (vecteurs de norme $1$ et orthogonaux), si $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ :

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'} \qquad \boxed{\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}}$

Démonstration. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x\vec{i} + y\vec{j}) \cdot (x'\vec{i} + y'\vec{j}) = xx'\,\vec{i}\cdot\vec{i} + (xy' + yx')\,\vec{i}\cdot\vec{j} + yy'\,\vec{j}\cdot\vec{j} = xx' + yy'$ car $\vec{i}\cdot\vec{i} = \vec{j}\cdot\vec{j} = 1$ et $\vec{i}\cdot\vec{j} = 0$ .

Critère d’orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0$ .

Coordonnées et produits scalaires : $x = \vec{u} \cdot \vec{i}$ et $y = \vec{u} \cdot \vec{j}$ .

Exemple : $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 6 = 0$ , les vecteurs sont orthogonaux.

Choisir la méthode adaptée

Données disponibles	Méthode
Coordonnées (repère orthonormé)	$xx' + yy'$
Deux normes et l’angle	$\\|\vec{u}\\|\,\\|\vec{v}\\|\cos\theta$
Figure avec angle droit visible (carré, rectangle)	projection orthogonale
Trois longueurs seulement	$\frac{1}{2}\left(\\|\vec{u}\\|^2 + \\|\vec{v}\\|^2 - \\|\vec{u} - \vec{v}\\|^2\right)$

Exemple (projection) : $ABCD$ rectangle avec $AB = 6$ , $BC = 4$ . Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 36$ (le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$ ) et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ .

Applications

Calculer un angle

$\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}$

Exemple : $A(1\,;\,0)$ , $B(4\,;\,3)$ , $C(3\,;\,-2)$ : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,3)$ , $\overrightarrow{AC}(2\,;\,-2)$ , produit scalaire $6 - 6 = 0$ : $\widehat{BAC} = 90°$ .

Exemple : $\overrightarrow{AB}(1\,;\,2)$ , $\overrightarrow{AC}(3\,;\,1)$ : $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\widehat{BAC} = 45°$ .

Formule d’Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ , en notant $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ :

$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}}$

Démonstration. $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ , donc $a^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 + AB^2 - 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}.$

Si $\hat{A} = 90°$ , on retrouve le théorème de Pythagore.

Exemple : $AB = 5$ , $AC = 8$ , $\hat{A} = 60°$ : $BC^2 = 64 + 25 - 2 \times 40 \times \dfrac{1}{2} = 49$ , donc $BC = 7$ .

Calcul d’un angle avec trois côtés : $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 8$ donne $\cos\hat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{1}{2}$ , soit $\hat{A} = 60°$ .

Transformation de $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Avec $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}$ :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$

Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ . D’après la formule ci-dessus, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI = \dfrac{AB}{2}$ : c’est le cercle de diamètre $[AB]$ . Autrement dit, $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ est sur ce cercle (avec $M \neq A, B$ ).

Démontrer une orthogonalité

Exemple : $A(-1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,4)$ , $C(2\,;\,-4)$ . $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(3\,;\,-6)$ : $4 \times 3 + 2 \times (-6) = 0$ , donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Pièges classiques

Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur.
La formule $xx' + yy'$ n’est valable qu’en base orthonormée.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ n’implique pas $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ : les vecteurs peuvent être orthogonaux.
Dans Al-Kashi, l’angle utilisé est celui opposé au côté calculé.
Le produit scalaire est négatif quand l’angle est obtus.