Quiz — Produit scalaire

Question 1 : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(4\,;\,5)$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

• $22$
• ✓ $2$
• $-2$
• $\begin{pmatrix} 12 \\ -10 \end{pmatrix}$

Explication : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 5 = 12 - 10 = 2$. Le résultat est un nombre, pas un vecteur.

Question 2 : Soit $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

• $12$
• $6\sqrt{3}$
• ✓ $6$
• $0$

Explication : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6$.

Question 3 : Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(m\,;\,3)$ et $\vec{v}(2\,;\,-4)$ sont-ils orthogonaux ?

• $m = -6$
• ✓ $m = 6$
• $m = -\dfrac{3}{2}$
• $m = \dfrac{2}{3}$

Explication : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2m - 12 = 0 \iff m = 6$.

Question 4 : $ABCD$ est un carré de côté $4$ (figure). Que vaut $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?

• $16\sqrt{2}$
• $0$
• $8$
• ✓ $16$

Explication : Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 = 16$. On peut aussi utiliser $AB \times AC \times \cos 45° = 4 \times 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$.

Question 5 : Dans un triangle $ABC$, $AB = 5$, $AC = 7$ et $\widehat{BAC} = 60°$. Que vaut $BC$ ?

• ✓ $\sqrt{39}$
• $\sqrt{74}$
• $\sqrt{109}$
• $6$

Explication : Al-Kashi : $BC^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 74 - 35 = 39$, donc $BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

Question 6 : Soit $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

• ✓ $\dfrac{3}{2}$
• $3$
• $\dfrac{29}{2}$
• $-\dfrac{3}{2}$

Explication : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \dfrac{1}{2}(16 - 4 - 9) = \dfrac{3}{2}$.

Question 7 : Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$. Que vaut $\cos\widehat{BAC}$ ?

• $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$
• ✓ $\dfrac{3}{5}$
• $\dfrac{3}{10}$
• $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Explication : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$, $\overrightarrow{AC}(1\,;\,3)$ : produit scalaire $3 + 3 = 6$, normes $AB = AC = \sqrt{10}$. Donc $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{6}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.

Question 8 : Soit $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est :

• La médiatrice de $[AB]$
• La droite $(AB)$
• ✓ Le cercle de diamètre $[AB]$
• Le cercle de centre $A$ passant par $B$

Explication : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ signifie que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (ou $M = A$ ou $M = B$) : $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$. Avec $I$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$.

Question 9 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$. Que vaut $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ ?

• $2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$
• $2\|\vec{u}\|^2$
• $\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$
• ✓ $0$

Explication : Par bilinéarité, $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 0$. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Question 10 : Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\vec{j})$, un vecteur $\vec{u}$ vérifie $\vec{u} \cdot \vec{i} = -2$ et $\vec{u} \cdot \vec{j} = 5$. Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}$ ?

• $(5\,;\,-2)$
• $(2\,;\,-5)$
• ✓ $(-2\,;\,5)$
• Impossible à déterminer

Explication : Si $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{i} = x$ et $\vec{u} \cdot \vec{j} = y$ (car $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ et $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$). Donc $\vec{u}(-2\,;\,5)$.