Comment trouver une équation de droite avec un point et un vecteur normal ?

Si $\vec{n}(a\,;\,b)$ est normal à la droite, celle-ci a une équation de la forme $ax + by + c = 0$. On remplace ensuite $x$ et $y$ par les coordonnées du point donné pour trouver $c$. Par exemple, avec $\vec{n}(2\,;\,-3)$ et $A(1\,;\,4)$ : $2 \times 1 - 3 \times 4 + c = 0$ donne $c = 10$, d'où $2x - 3y + 10 = 0$.

Comment déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite $d$ ?

On écrit que $H$ appartient à $d$ (son équation) et que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$, ou colinéaire à un vecteur normal. On obtient un système de deux équations à deux inconnues. Autre méthode : $H$ est l'intersection de $d$ et de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$.

Comment reconnaître qu'une équation $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ est celle d'un cercle ?

On complète les carrés : $\left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\beta}{2}\right)^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{4} - \gamma$. Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre $\left(-\frac{\alpha}{2}\,;\,-\frac{\beta}{2}\right)$ et de rayon la racine carrée de ce nombre ; s'il est nul, l'ensemble est réduit à un point ; s'il est négatif, l'ensemble est vide.

Géométrie repérée

Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\vec{j})$ .

Rappels utiles

Pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \qquad I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right) \text{ milieu de } [AB]$

Produit scalaire de $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ ; les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $xx' + yy' = 0$ .

Une droite admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ , et un vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ . Si $b \neq 0$ , elle a aussi une équation réduite $y = mx + p$ .

Vecteur normal à une droite

Définition. Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$ .

Propriété. Le vecteur $\vec{n}(a\,;\,b)$ est normal à la droite d’équation $ax + by + c = 0$ .

Démonstration. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;\,a)$ , et $\vec{n} \cdot \vec{u} = a \times (-b) + b \times a = 0$ .

Exemple : la droite $2x - 5y + 1 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(2\,;\,-5)$ et pour vecteur directeur $\vec{u}(5\,;\,2)$ .

Équation d’une droite à partir d’un point et d’un vecteur normal

Soit $A$ un point de $d$ et $\vec{n}$ un vecteur normal. Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $d$ si et seulement si

$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$

Exemple : $A(1\,;\,4)$ et $\vec{n}(2\,;\,-3)$ .

$\overrightarrow{AM}(x - 1\,;\,y - 4), \qquad 2(x - 1) - 3(y - 4) = 0 \iff 2x - 3y + 10 = 0$

Méthode rapide : l’équation est de la forme $2x - 3y + c = 0$ ; on trouve $c$ avec les coordonnées de $A$ : $2 - 12 + c = 0$ , donc $c = 10$ .

Perpendiculaires et parallèles

Deux droites de vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont :

perpendiculaires si et seulement si $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ ;
parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

Exemple : la perpendiculaire à $d : 3x + y - 2 = 0$ passant par $B(1\,;\,1)$ admet $\vec{n}(3\,;\,1)$ comme vecteur directeur, donc $\vec{m}(1\,;\,-3)$ comme vecteur normal : $x - 3y + c = 0$ avec $1 - 3 + c = 0$ , soit $x - 3y + 2 = 0$ .

Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH) \perp d$ (ou $H = M$ si $M \in d$ ). C’est le point de $d$ le plus proche de $M$ , et $MH$ est la distance de $M$ à $d$ .

Méthode 1 — avec le vecteur normal

$H$ vérifie deux conditions : $H \in d$ et $\overrightarrow{MH}$ colinéaire à $\vec{n}$ , c’est-à-dire $H = M + t\,\vec{n}$ pour un réel $t$ .

Exemple : $d : x + y - 4 = 0$ , $M(5\,;\,3)$ , $\vec{n}(1\,;\,1)$ . On pose $H(5 + t\,;\,3 + t)$ et on écrit $H \in d$ :

$(5 + t) + (3 + t) - 4 = 0 \iff 2t + 4 = 0 \iff t = -2$

Donc $H(3\,;\,1)$ et $MH = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$ .

Méthode 2 — intersection de deux droites

$H$ est l’intersection de $d$ et de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ ; on résout le système formé par leurs deux équations.

Exemple : la perpendiculaire à $d$ par $M$ a pour vecteur normal $\vec{u}(1\,;\,-1)$ (directeur de $d$ ) : $x - y + c = 0$ avec $5 - 3 + c = 0$ , soit $x - y - 2 = 0$ . Système $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ : $x = 3$ , $y = 1$ .

Équation de cercle

Propriété. Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r > 0$ est l’ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$

Démonstration. $M$ est sur le cercle si et seulement si $\Omega M = r$ , soit $\Omega M^2 = r^2$ , ce qui s’écrit avec les coordonnées $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .

Exemple : cercle de centre $\Omega(2\,;\,-1)$ et de rayon $3$ : $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ . Le point $(2\,;\,2)$ est sur ce cercle car $0 + 9 = 9$ ; le point $(4\,;\,1)$ n’y est pas car $4 + 4 = 8 \neq 9$ .

Cercle de diamètre $[AB]$

$M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ (voir le cours sur le produit scalaire).

Exemple : $A(-1\,;\,0)$ , $B(3\,;\,2)$ . $\overrightarrow{MA}(-1 - x\,;\,-y)$ , $\overrightarrow{MB}(3 - x\,;\,2 - y)$ :

$(-1 - x)(3 - x) + (-y)(2 - y) = 0 \iff x^2 - 2x + y^2 - 2y - 3 = 0 \iff (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$

Centre $(1\,;\,1)$ (milieu de $[AB]$ ), rayon $\sqrt{5}$ (moitié de $AB = \sqrt{20}$ ).

Reconnaître une équation de cercle

Une équation $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ se ramène par complétion des carrés à la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ :

si $k > 0$ : cercle de centre $(a\,;\,b)$ et de rayon $\sqrt{k}$ ;
si $k = 0$ : le seul point $(a\,;\,b)$ ;
si $k < 0$ : aucun point.

Exemple : $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ .

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

Cercle de centre $\Omega(2\,;\,-3)$ et de rayon $4$ .

Contre-exemple : $x^2 + y^2 + 2x + 1 + 4 = 0$ donne $(x + 1)^2 + y^2 = -4$ : ensemble vide.

Utiliser un repère pour étudier une configuration

Choisir un repère orthonormé adapté (origine en un sommet, axes le long des côtés) transforme un problème géométrique en calculs.

Exemple : $ABCD$ est un carré de côté $1$ , $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ . Montrer que $(AI) \perp (BJ)$ .

Repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ : $A(0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,0)$ , $C(1\,;\,1)$ , $D(0\,;\,1)$ , $I\left(1\,;\,\frac{1}{2}\right)$ , $J\left(\frac{1}{2}\,;\,1\right)$ .

$\overrightarrow{AI}\left(1\,;\,\tfrac{1}{2}\right), \quad \overrightarrow{BJ}\left(-\tfrac{1}{2}\,;\,1\right), \quad \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0$

Les droites sont perpendiculaires.

Autre exemple : intersection du cercle $x^2 + y^2 = 25$ avec la droite $x = 3$ : $9 + y^2 = 25$ , $y = \pm 4$ , deux points $(3\,;\,4)$ et $(3\,;\,-4)$ .

Pièges classiques

Pour $ax + by + c = 0$ , $(a\,;\,b)$ est normal, $(-b\,;\,a)$ est directeur : ne pas les confondre.
Dans $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , le membre de droite est le carré du rayon.
$(x + 1)^2$ correspond à un centre d’abscisse $-1$ , pas $+1$ .
Une équation du type $x^2 + y^2 + \ldots = 0$ n’est pas toujours celle d’un cercle : vérifier le signe du membre de droite après complétion des carrés.