Quiz — Géométrie repérée

Question 1 : Quel vecteur est normal à la droite d'équation $3x - 2y + 7 = 0$ ?

• $\vec{n}(2\,;\,3)$
• $\vec{n}(-2\,;\,3)$
• ✓ $\vec{n}(3\,;\,-2)$
• $\vec{n}(3\,;\,7)$

Explication : Pour $ax + by + c = 0$, $\vec{n}(a\,;\,b) = (3\,;\,-2)$ est normal. Le vecteur $(2\,;\,3)$ est un vecteur directeur.

Question 2 : Quelle est une équation de la droite passant par $A(2\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4\,;\,3)$ ?

• $4x + 3y + 5 = 0$
• ✓ $4x + 3y - 5 = 0$
• $3x - 4y - 10 = 0$
• $4x + 3y - 11 = 0$

Explication : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 4(x - 2) + 3(y + 1) = 4x + 3y - 5 = 0$.

Question 3 : Les droites $d_1 : 2x + y - 3 = 0$ et $d_2 : x - 2y + 8 = 0$ sont :

• Parallèles
• Confondues
• Sécantes non perpendiculaires
• ✓ Perpendiculaires

Explication : Vecteurs normaux $\vec{n_1}(2\,;\,1)$ et $\vec{n_2}(1\,;\,-2)$ : $2 \times 1 + 1 \times (-2) = 0$, ils sont orthogonaux donc les droites sont perpendiculaires.

Question 4 : Quelle est l'équation du cercle de centre $\Omega(-1\,;\,3)$ et de rayon $5$ ?

• $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$
• $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$
• ✓ $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$
• $(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Explication : $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = r^2$ avec $x_\Omega = -1$, $y_\Omega = 3$, $r^2 = 25$ : $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Question 5 : L'équation $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ est celle d'un cercle. Quels sont son centre et son rayon ?

• ✓ $\Omega(3\,;\,-2)$, $r = 4$
• $\Omega(-3\,;\,2)$, $r = 4$
• $\Omega(3\,;\,-2)$, $r = 16$
• $\Omega(6\,;\,-4)$, $r = \sqrt{3}$

Explication : $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$, soit $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ : centre $(3\,;\,-2)$, rayon $4$.

Question 6 : Soit $d : x + y - 4 = 0$ et $M(5\,;\,3)$. Quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ ?

• $(2\,;\,2)$
• $(4\,;\,0)$
• $(1\,;\,3)$
• ✓ $(3\,;\,1)$

Explication : $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à $\vec{n}(1\,;\,1)$ : $H(5 + t\,;\,3 + t)$. Comme $H \in d$ : $5 + t + 3 + t - 4 = 0$, donc $t = -2$ et $H(3\,;\,1)$. Vérification : $3 + 1 - 4 = 0$.

Question 7 : Le point $A(2\,;\,5)$ appartient-il au cercle de centre $O(0\,;\,0)$ et de rayon $\sqrt{29}$ ?

• ✓ Oui, car $2^2 + 5^2 = 29$
• Non, car $2 + 5 \neq \sqrt{29}$
• Non, car $2^2 + 5^2 \neq \sqrt{29}$
• On ne peut pas savoir sans tracer

Explication : $A$ est sur le cercle si et seulement si $OA^2 = r^2$ : $2^2 + 5^2 = 29 = (\sqrt{29})^2$. Oui.

Question 8 : Sur la figure, le cercle a pour centre $\Omega(2\,;\,1)$ et passe par $A(5\,;\,1)$. Quelle est son équation ?

• $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$
• ✓ $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$
• $(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 9$
• $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

Explication : Le rayon est $\Omega A = 3$, donc $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

Question 9 : Quel ensemble de points est décrit par l'équation $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0$ ?

• Un cercle de rayon $\sqrt{5}$
• Un cercle de rayon $5$
• ✓ Le point $(-1\,;\,2)$ seulement
• L'ensemble vide

Explication : $(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 5 = 0$ donne $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$ : une somme de carrés nulle, seul le point $(-1\,;\,2)$ convient.

Question 10 : Soit $A(0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0)$ et $C(4\,;\,3)$. Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ a pour centre :

• $(4\,;\,0)$
• ✓ $\left(2\,;\,\dfrac{3}{2}\right)$
• $\left(\dfrac{8}{3}\,;\,1\right)$
• $(2\,;\,0)$

Explication : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,0)$ et $\overrightarrow{BC}(0\,;\,3)$ sont orthogonaux : le triangle est rectangle en $B$, donc son cercle circonscrit a pour diamètre $[AC]$ et pour centre le milieu de $[AC]$ : $\left(2\,;\,\frac{3}{2}\right)$.