Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, muni d’un sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). Dans un repère orthonormé $(O\,;\,I\,;\,J)$, il passe par $I(1\,;\,0)$ et $J(0\,;\,1)$.

Le radian

Un angle de $1$ radian intercepte, sur un cercle de rayon $R$, un arc de longueur $R$. Sur le cercle trigonométrique, la mesure de l’angle en radians est égale à la longueur de l’arc.

Un tour complet a pour longueur $2\pi$ (périmètre du cercle de rayon $1$) : $360° = 2\pi$ rad, donc $180° = \pi$ rad. La conversion est proportionnelle.

Degrés	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$360°$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Sur un cercle de rayon $R$, un arc d’angle au centre $\theta$ (en radians) a pour longueur $L = R\theta$.

Enroulement de la droite des réels

On enroule la droite graduée des réels autour du cercle, en plaçant $0$ en $I$, les réels positifs dans le sens direct et les négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ a ainsi une image $M$ sur le cercle : le point atteint après un arc de longueur $|x|$.

• $\dfrac{\pi}{2}$ a pour image $J$, $\pi$ a pour image $I'(-1\,;\,0)$, $2\pi$ a pour image $I$ (un tour complet).
• Les réels $x$ et $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) ont la même image : $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{3}$, $-\dfrac{5\pi}{3}$ désignent le même point.

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Cosinus et sinus d’un réel

Définition. Soit $M$ l’image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ est l’abscisse de $M$, le sinus de $x$ est son ordonnée : $M(\cos x\,;\,\sin x)$.

Conséquences immédiates :

• $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$ ;
• $\boxed{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}$ (car $OM = 1$) ;
• $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ : les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques.

Lien avec le triangle rectangle

Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des abscisses. Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, d’hypoténuse $OM = 1$ :

$\cos x = \frac{OH}{OM} = OH \qquad \sin x = \frac{HM}{OM} = HM$

On retrouve les définitions du collège (côté adjacent sur hypoténuse, côté opposé sur hypoténuse), étendues à tous les réels.

Signes selon le quadrant

$x \in$	$\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$	$\left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$	$\left]\pi\,;\,\frac{3\pi}{2}\right[$	$\left]\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right[$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$

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Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Moyen mnémotechnique : les cosinus de $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ sont $\dfrac{\sqrt{4}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{0}}{2}$ ; les sinus se lisent dans l’ordre inverse.

Démonstration pour $\dfrac{\pi}{4}$

Soit $M$ l’image de $\dfrac{\pi}{4}$ ($45°$) et $H$ son projeté sur l’axe des abscisses. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et isocèle (angle de $45°$ en $O$, donc aussi en $M$) : $OH = HM$. Par Pythagore, $OH^2 + HM^2 = OM^2 = 1$, soit $2\,OH^2 = 1$ et $OH = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Démonstration pour $\dfrac{\pi}{3}$

Soit $M$ l’image de $\dfrac{\pi}{3}$ ($60°$). Le triangle $OIM$ a $OI = OM = 1$ et un angle de $60°$ en $O$ : il est équilatéral. La hauteur issue de $M$ tombe au milieu $H$ de $[OI]$, donc $OH = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$. Par Pythagore dans $OHM$ : $HM^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$, donc $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Les valeurs pour $\dfrac{\pi}{6}$ s’en déduisent par la symétrie qui échange $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ (voir ci-dessous).

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Angles associés

Les symétries du cercle permettent de passer des valeurs de $x$ à celles des réels associés.

Réel associé	Symétrie du point image	Cosinus	Sinus
$-x$	axe des abscisses	$\cos(-x) = \cos x$	$\sin(-x) = -\sin x$
$\pi - x$	axe des ordonnées	$\cos(\pi - x) = -\cos x$	$\sin(\pi - x) = \sin x$
$\pi + x$	origine $O$	$\cos(\pi + x) = -\cos x$	$\sin(\pi + x) = -\sin x$
$\dfrac{\pi}{2} - x$	droite $y = x$	$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$	$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

En particulier, $\cos$ est paire et $\sin$ est impaire.

Exemples :

• $\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $\sin\dfrac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos\dfrac{13\pi}{6} = \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Méthode — placer un point et lire cos et sin

1. Ramener le réel dans $]-\pi\,;\,\pi]$ en ajoutant ou retranchant des multiples de $2\pi$.
2. L’écrire sous la forme $\pm\,x_0$, $\pi \pm x_0$ avec $x_0$ une valeur remarquable de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.
3. Placer le point par symétrie et en déduire les signes de $\cos$ et $\sin$.

Exemple : $x = \dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 4\pi$, même image que $\dfrac{\pi}{4}$ : $\cos x = \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Lecture d’équations sur le cercle

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : les points d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ sont les images de $\dfrac{\pi}{3}$ et de $-\dfrac{\pi}{3}$. Résoudre $\sin x = \dfrac{1}{2}$ dans $[0\,;\,2\pi[$ : points d’ordonnée $\dfrac{1}{2}$, images de $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.

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Algorithme — approximation de $\pi$ par la méthode d’Archimède

Archimède encadre le périmètre du cercle de rayon $1$ (qui vaut $2\pi$) par les périmètres de polygones réguliers inscrits, en doublant le nombre de côtés. Si $c_n$ est le côté du polygone inscrit à $n$ côtés, le côté du polygone à $2n$ côtés vérifie

$c_{2n} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - c_n^2}}$

from math import sqrt

def archimede(etapes):
    n, c = 6, 1          # hexagone inscrit : côté 1
    for k in range(etapes):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = 2 * n
    return n * c / 2     # demi-périmètre, approche pi

archimede(0) renvoie 3 (hexagone), archimede(4) renvoie environ 3.1410 (polygone à 96 côtés, celui d’Archimède), archimede(10) renvoie 3.14159….

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Pièges classiques

• Ne pas confondre l’abscisse (cosinus) et l’ordonnée (sinus) du point image.
• $\cos(\pi - x) = -\cos x$ mais $\sin(\pi - x) = +\sin x$ : ne pas changer les deux signes.
• Une calculatrice doit être en mode radian pour les calculs avec $\pi$.
• $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$, et non $\cos(x^2)$.