Quiz — Fonctions trigonométriques

Question 1 : Quelle est la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

• ✓ $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $1$

Explication : Dans le triangle équilatéral de côté $1$, la hauteur coupe la base en son milieu : $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Question 2 : Convertir $135°$ en radians.

• $\dfrac{2\pi}{3}$
• $\dfrac{5\pi}{6}$
• ✓ $\dfrac{3\pi}{4}$
• $\dfrac{4\pi}{3}$

Explication : $135° = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ rad (car $135 = 3 \times 45$ et $45° = \frac{\pi}{4}$).

Question 3 : La fonction $\cos$ est :

• Impaire
• ✓ Paire
• Ni paire ni impaire
• Périodique de période $\pi$

Explication : Les points images de $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, donc $\cos(-x) = \cos x$. Le cosinus est pair ; sa période est $2\pi$, pas $\pi$.

Question 4 : Quelle est la période de la fonction $\sin$ ?

• $\pi$
• $\dfrac{\pi}{2}$
• $4\pi$
• ✓ $2\pi$

Explication : Après un tour complet de longueur $2\pi$, on revient au même point du cercle : $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ pour tout $x$.

Question 5 : Quelle identité relie $\cos x$ et $\sin x$ pour tout réel $x$ ?

• $\cos x + \sin x = 1$
• $\cos x \cdot \sin x = 1$
• ✓ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
• $\cos^2 x - \sin^2 x = 1$

Explication : Le point $M(\cos x\,;\,\sin x)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : $OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Question 6 : Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $M$ est l'image du réel $\dfrac{2\pi}{3}$. Quelles sont ses coordonnées ?

• $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
• $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
• $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
• ✓ $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Explication : $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ : $M$ est le symétrique du point de $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Question 7 : Que vaut $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ ?

• ✓ $-\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Explication : Le sinus est impair : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.

Question 8 : Parmi les réels suivants, lequel a la même image que $\dfrac{\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique ?

• $\dfrac{5\pi}{4}$
• ✓ $-\dfrac{7\pi}{4}$
• $\dfrac{3\pi}{4}$
• $-\dfrac{\pi}{4}$

Explication : $-\dfrac{7\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - 2\pi$ : même point après un tour en arrière. En revanche $\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + \pi$ est le point diamétralement opposé.

Question 9 : Sachant que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et que $\sin x < 0$, que vaut $\sin x$ ?

• $\dfrac{4}{5}$
• $-\dfrac{2}{5}$
• ✓ $-\dfrac{4}{5}$
• $-\dfrac{16}{25}$

Explication : $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, donc $\sin x = \pm\dfrac{4}{5}$. Comme $\sin x < 0$ : $\sin x = -\dfrac{4}{5}$.

Question 10 : Un cercle a pour rayon $6$ cm. Quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\dfrac{\pi}{3}$ rad ?

• $\pi$ cm
• ✓ $2\pi$ cm
• $6\pi$ cm
• $\dfrac{\pi}{3}$ cm

Explication : Longueur d'arc $= R\theta = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi$ cm. C'est la définition même du radian : sur un cercle de rayon $1$, arc et angle ont la même mesure.