Fonction exponentielle

Définition

Définition. Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1.$ On l’appelle fonction exponentielle et on la note $\exp$.

L’existence et l’unicité sont admises. On note $e = \exp(1) \approx 2{,}71828$ et, pour tout réel $x$, $\exp(x) = e^x$.

Cette définition provient des phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité elle-même (intérêts composés à chaque instant, croissance d’une population, désintégration radioactive).

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Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$, $b$ et tout entier $n$ :

$\boxed{e^{a+b} = e^a \times e^b} \qquad e^a \times e^{-a} = 1$

$e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad \left(e^a\right)^n = e^{na}$

Ces règles sont celles des puissances : l’exponentielle transforme les sommes en produits.

Exemples :

• $e^{3} \times e^{-5} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$
• $\dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}} = e^{2x+1-(x-1)} = e^{x+2}$
• $\left(e^{2x}\right)^3 = e^{6x}$
• $e^{2x} - 1 = (e^x - 1)(e^x + 1)$ car $e^{2x} = (e^x)^2$

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Signe et variations

Propriété. Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Idée de la preuve. $e^x \times e^{-x} = 1$ montre que $e^x \neq 0$ ; une fonction dérivable qui ne s’annule pas et vaut $1$ en $0$ reste positive. Comme $(e^x)' = e^x > 0$, la fonction est strictement croissante.

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$e^x$		$\nearrow$

Valeurs de repère : $e^{-1} \approx 0{,}37$, $e^0 = 1$, $e^1 \approx 2{,}72$, $e^2 \approx 7{,}39$.

Quand $x$ devient très négatif, $e^x$ se rapproche de $0$ sans jamais l’atteindre ; quand $x$ grandit, $e^x$ dépasse tout nombre fixé.

Conséquences : équations et inéquations

Comme la fonction est strictement croissante :

$e^a = e^b \iff a = b \qquad\qquad e^a < e^b \iff a < b$

Exemples :

• $e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$
• $e^{x^2} > e^{2x} \iff x^2 - 2x > 0 \iff x(x - 2) > 0 \iff x < 0 \text{ ou } x > 2$
• $e^{x} = 1 \iff x = 0$ (car $1 = e^0$)

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Dérivée

$\boxed{(e^x)' = e^x} \qquad\qquad \boxed{\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}} \quad (a \in \mathbb{R})$

Fonction	Dérivée
$e^{3x}$	$3e^{3x}$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$
$4e^{-0{,}2t}$	$-0{,}8\,e^{-0{,}2t}$
$x\,e^x$	$e^x + x\,e^x = (1 + x)e^x$ (produit)
$\dfrac{e^x}{x}$ ($x \neq 0$)	$\dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$ (quotient)

Tangente en $0$ : $f(0) = 1$, $f'(0) = 1$, d’où $y = x + 1$. Ainsi, pour $h$ petit, $e^h \approx 1 + h$.

Exemple d’étude

$f(x) = (x - 1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x$

Comme $e^x > 0$, $f'$ a le signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, et admet un minimum $f(0) = -1$.

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Les fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et $t \mapsto e^{-kt}$ ($k > 0$)

$t \mapsto e^{kt}$	dérivée $k\,e^{kt} > 0$ : croissance exponentielle
$t \mapsto e^{-kt}$	dérivée $-k\,e^{-kt} < 0$ : décroissance exponentielle

Les deux courbes passent par $(0\,;\,1)$, restent au-dessus de l’axe des abscisses et sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées.

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Lien avec les suites géométriques

Pour $a$ réel, la suite $u_n = e^{an}$ vérifie

$u_{n+1} = e^{a(n+1)} = e^{an} \times e^{a} = e^a \times u_n$

C’est une suite géométrique de raison $q = e^a$. Une évolution à taux constant observée à des instants entiers (temps discret) et une évolution exponentielle en temps continu décrivent le même phénomène :

$C_n = C_0\,q^n \qquad \longleftrightarrow \qquad C(t) = C_0\,e^{at} \quad \text{avec } e^a = q$

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Modélisation

Croissance : une population de bactéries double toutes les heures. Si $N(t) = N_0 e^{kt}$, alors $N(1) = 2N_0$ impose $e^k = 2$ ; par balayage à la calculatrice, on trouve $k \approx 0{,}693$. La courbe de $N$ est celle d’une croissance exponentielle.

Décroissance radioactive : le nombre de noyaux suit $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda > 0$. La dérivée $N'(t) = -\lambda N(t)$ est proportionnelle à $N(t)$ : à chaque instant, une même proportion de noyaux se désintègre.

Capital à taux fixe : un capital placé à $3\,\%$ par an vaut $C_n = C_0 \times 1{,}03^n$ après $n$ années ; en temps continu, $C(t) = C_0 e^{at}$ avec $e^a = 1{,}03$.

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Algorithmes

Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler

On approche la courbe de $f$ (avec $f' = f$, $f(0) = 1$) par des segments de pente $f(x)$ : sur un petit pas $h$, $f(x + h) \approx f(x) + h\,f(x) = (1 + h)\,f(x)$.

def euler(h, n):
    x, y = 0, 1
    L = [(x, y)]
    for k in range(n):
        y = y + h * y
        x = x + h
        L.append((x, y))
    return L

Avec $h = 0{,}1$ et $n = 10$, on obtient en $x = 1$ la valeur $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$, approximation grossière de $e \approx 2{,}718$ ; réduire le pas améliore la précision.

Valeur approchée de $e$ par la suite $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

def approx_e(n):
    return (1 + 1 / n)**n

approx_e(10) renvoie 2.5937…, approx_e(1000) renvoie 2.7169…, approx_e(10**6) renvoie 2.71828… : la suite se rapproche de $e$. C’est exactement ce que fait la méthode d’Euler avec le pas $h = \dfrac{1}{n}$.

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Pièges classiques

• $e^{a+b} \neq e^a + e^b$ : l’exponentielle transforme une somme en produit.
• $e^{x}$ n’est jamais nul ni négatif : l’équation $e^x = -2$ n’a pas de solution.
• $(e^{3x})' = 3e^{3x}$, pas $e^{3x}$ ni $3x\,e^{3x}$.
• Pour le signe d’un produit avec $e^x$, seul l’autre facteur compte.