Quiz — Fonction exponentielle

Question 1 : Que vaut $e^0$ ?

• $0$
• ✓ $1$
• $e$
• Non défini

Explication : Par définition de la fonction exponentielle, $\exp(0) = 1$.

Question 2 : Simplifier $\dfrac{e^{5x} \times e^{-2x}}{e^{x}}$.

• $e^{8x}$
• $e^{-2x}$
• $e^{10x}$
• ✓ $e^{2x}$

Explication : Numérateur : $e^{5x - 2x} = e^{3x}$. Puis $\dfrac{e^{3x}}{e^{x}} = e^{3x - x} = e^{2x}$.

Question 3 : Quelle est la dérivée de $f(t) = 5e^{-3t}$ ?

• ✓ $-15e^{-3t}$
• $5e^{-3t}$
• $-3e^{-3t}$
• $15e^{-3t}$

Explication : $(e^{at})' = a\,e^{at}$ avec $a = -3$ : $f'(t) = 5 \times (-3)e^{-3t} = -15e^{-3t}$.

Question 4 : Résoudre $e^{2x - 1} = e^{x + 4}$.

• $x = -5$
• $x = 3$
• ✓ $x = 5$
• $x = \dfrac{5}{3}$

Explication : L'exponentielle est strictement croissante donc $e^a = e^b \iff a = b$ : $2x - 1 = x + 4$, soit $x = 5$.

Question 5 : Quel est le signe de $g(x) = (x - 2)e^{x}$ ?

• Toujours positif
• ✓ Négatif si $x < 2$, positif si $x > 2$
• Positif si $x < 2$, négatif si $x > 2$
• Négatif si $x < 0$, positif si $x > 0$

Explication : Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, $g(x)$ a le signe de $x - 2$ : négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$.

Question 6 : Soit $u_n = e^{0{,}5n}$ pour tout entier $n$. La suite $(u_n)$ est :

• Arithmétique de raison $0{,}5$
• Géométrique de raison $0{,}5$
• Arithmétique de raison $e$
• ✓ Géométrique de raison $e^{0{,}5}$

Explication : $u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n} \times e^{0{,}5} = e^{0{,}5} \times u_n$ : géométrique de raison $e^{0{,}5} \approx 1{,}65$.

Question 7 : Parmi les courbes ci-dessous, laquelle représente $t \mapsto e^{-0{,}5t}$ ?

• ✓ La courbe orange, décroissante
• La courbe bleue, croissante
• Aucune : $e^{-0{,}5t}$ prend des valeurs négatives
• Les deux courbes se confondent

Explication : Pour $k > 0$, $t \mapsto e^{-kt}$ est strictement décroissante (dérivée $-k e^{-kt} < 0$) et strictement positive ; elle passe par $(0\,;\,1)$. C'est la courbe orange. La bleue est $e^{0{,}5t}$.

Question 8 : Résoudre l'inéquation $e^{3x} < e^{x + 2}$.

• $x > 1$
• ✓ $x < 1$
• $x < -1$
• $x < 2$

Explication : Stricte croissance : $e^{3x} < e^{x+2} \iff 3x < x + 2 \iff x < 1$.

Question 9 : Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $x \mapsto e^x$ au point d'abscisse $0$ ?

• $y = x$
• $y = ex + 1$
• ✓ $y = x + 1$
• $y = 1$

Explication : $f(0) = 1$ et $f'(0) = e^0 = 1$ : $y = 1 + 1 \times (x - 0) = x + 1$.

Question 10 : Une quantité de médicament dans le sang suit $Q(t) = 20e^{-0{,}25t}$ (en mg, $t$ en heures). Que peut-on affirmer ?

• $Q$ est croissante et $Q(0) = 20$
• $Q'(t) = 20e^{-0{,}25t}$
• $Q(t)$ devient négatif au bout d'un certain temps
• ✓ $Q$ est décroissante et $Q'(t) = -5e^{-0{,}25t}$

Explication : $Q'(t) = 20 \times (-0{,}25)e^{-0{,}25t} = -5e^{-0{,}25t} < 0$ : la quantité décroît (élimination du médicament). Elle reste strictement positive.