Dérivées — définition et calcul

Point de vue local : le nombre dérivé

Taux de variation et sécante

Soit $f$ une fonction et $a$, $b$ deux réels distincts de son ensemble de définition. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

C’est le coefficient directeur de la sécante $(AB)$ où $A(a\,;\,f(a))$ et $B(b\,;\,f(b))$. En cinématique, c’est une vitesse moyenne.

En posant $b = a + h$, le taux de variation s’écrit $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Exemple : $f(x) = x^2$, entre $1$ et $1 + h$ :

$\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h$

Nombre dérivé

Quand $h$ se rapproche de $0$, le point $B$ glisse vers $A$ et les sécantes se rapprochent d’une position limite : la tangente. Le taux de variation se rapproche alors d’un nombre appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ :

$\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}$

Dans l’exemple, $2 + h$ tend vers $2$ : $f'(1) = 2$.

Interprétations :

Contexte	Taux de variation	Nombre dérivé
Géométrie	pente d’une sécante	pente de la tangente
Cinématique	vitesse moyenne	vitesse instantanée
Économie	coût moyen d’unités supplémentaires	coût marginal

Exemple (fonction inverse) : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $a = 2$.

$\frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \frac{-h}{2h(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{4}$

Tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est la droite passant par $A(a\,;\,f(a))$ de coefficient directeur $f'(a)$ :

$\boxed{y = f(a) + f'(a)\,(x - a)}$

Démonstration. Une droite de pente $m = f'(a)$ a une équation $y = mx + p$. Elle passe par $A$ : $f(a) = ma + p$, donc $p = f(a) - ma$, et $y = mx + f(a) - ma = f(a) + m(x - a)$.

Exemple : tangente à $x^2$ en $a = 1$ : $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$.

Construire la tangente : connaissant $f'(a)$, on part de $A$, on avance de $1$ en abscisse et on monte de $f'(a)$ ; on trace la droite par les deux points. Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale.

Approximation affine

Près de $a$, la courbe est proche de sa tangente :

$\boxed{f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h \quad \text{pour } h \text{ proche de } 0}$

Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 1$, $f'(1) = \dfrac{1}{2}$ : $\sqrt{1{,}1} \approx 1 + 0{,}5 \times 0{,}1 = 1{,}05$ (valeur exacte $1{,}0488\ldots$).

Algorithme — pentes des sécantes

def pentes(a, pas, n):
    L = []
    for k in range(1, n + 1):
        h = k * pas
        L.append(((a + h)**2 - a**2) / h)
    return L

pentes(1, 0.1, 5) renvoie [2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5] : les pentes des sécantes de $x^2$ en $1$ se rapprochent de $2$ quand $h$ diminue.

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Point de vue global : la fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle admet un nombre dérivé en tout point de $I$. La fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ est sa fonction dérivée.

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Valable sur
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}^*$ si $n < 0$)
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$

Démonstration pour $x^2$. $\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2x$.

Démonstration pour $\dfrac{1}{x}$ ($x \neq 0$). $\dfrac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \dfrac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\dfrac{1}{x^2}$.

Deux fonctions non dérivables en $0$

• Racine carrée : $\dfrac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l’on veut quand $h \to 0^+$ : pas de limite finie. La courbe a une tangente verticale en $0$.
• Valeur absolue : $\dfrac{|h|}{h}$ vaut $1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$ : pas de limite. La courbe a un point anguleux en $0$. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $|x| = x$ donne $f'(x) = 1$ ; sur $]-\infty\,;\,0[$, $|x| = -x$ donne $f'(x) = -1$.

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Opérations sur les fonctions dérivables

Soit $u$ et $v$ dérivables sur $I$, $k$ un réel.

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u \times v$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$ ($v \neq 0$)	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ ($v \neq 0$)	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Démonstration (produit). $\dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h}$. On intercale $u(x+h)v(x)$ : $= \frac{u(x+h) - u(x)}{h}\,v(x+h) + u(x)\,\frac{v(x+h) - v(x)}{h}$ Quand $h \to 0$ : le premier quotient tend vers $u'(x)$, $v(x+h)$ vers $v(x)$, le second quotient vers $v'(x)$. D’où $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

Exemples

Somme : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 4$, donc $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$.

Produit : $g(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

$g'(x) = 2x\sqrt{x} + (x^2+1)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Inverse : $h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, avec $v = x^2 + 1$, $v' = 2x$ :

$h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

Quotient : $k(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ pour $x \neq 2$ :

$k'(x) = \frac{1 \times (x-2) - (x+1) \times 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$

Puissance négative : $m(x) = x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$, donc $m'(x) = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$.

Notation physique. Si $y = f(x)$, on écrit aussi $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ pour un taux de variation et $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)$ pour la dérivée.

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Pièges classiques

• La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$.
• Dans la formule du quotient, l’ordre compte : $u'v - uv'$ (et non $uv' - u'v$).
• $f'(a)$ est un nombre, pas une fonction : on dérive d’abord, on remplace $x$ par $a$ ensuite.
• La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$, avec un signe moins.
• L’étude du signe de $f'$ pour obtenir les variations de $f$ fait l’objet du cours « Variations et courbes représentatives ».