Quiz — Dérivation

Question 1 : Soit $f(x) = x^2$. Quel est le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$ ?

• $8$
• ✓ $4$
• $2$
• $6$

Explication : $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = 4$. C'est la pente de la sécante passant par les points d'abscisses $1$ et $3$.

Question 2 : Soit $f(x) = x^2$. Le taux de variation entre $2$ et $2 + h$ vaut $4 + h$. Que vaut $f'(2)$ ?

• $4 + h$
• $2$
• ✓ $4$
• $0$

Explication : Quand $h$ tend vers $0$, $4 + h$ tend vers $4$ : $f'(2) = 4$. On retrouve $f'(x) = 2x$ en $x = 2$.

Question 3 : Sur la figure, la droite tracée est la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$. Que vaut $f'(1)$ ?

• $1$
• $-1$
• $3$
• ✓ $2$

Explication : La tangente passe par $(1\,;\,1)$ et $(2\,;\,3)$ : sa pente est $\dfrac{3 - 1}{2 - 1} = 2$, donc $f'(1) = 2$.

Question 4 : Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^3$ au point d'abscisse $1$ ?

• ✓ $y = 3x - 2$
• $y = 3x + 1$
• $y = 3x - 3$
• $y = x + 2$

Explication : $f(1) = 1$ et $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(1) = 3$. Tangente : $y = 1 + 3(x - 1) = 3x - 2$.

Question 5 : Quelle est la dérivée de $f(x) = 4x^3 - 5x + 7$ ?

• $12x^2 - 5x$
• ✓ $12x^2 - 5$
• $4x^2 - 5$
• $12x^2 - 5 + 7$

Explication : $(4x^3)' = 12x^2$, $(-5x)' = -5$, $(7)' = 0$ : $f'(x) = 12x^2 - 5$.

Question 6 : Quelle est la dérivée de $g(x) = \dfrac{3}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

• $\dfrac{3}{x^2}$
• $\dfrac{1}{3x^2}$
• ✓ $-\dfrac{3}{x^2}$
• $3$

Explication : $g(x) = 3 \times \dfrac{1}{x}$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, donc $g'(x) = -\dfrac{3}{x^2}$.

Question 7 : Soit $h(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. Que vaut $h'(x)$ ?

• $2 \times 2x = 4x$
• ✓ $2(x^2 - 3) + (2x + 1) \times 2x$
• $2(x^2 - 3) - (2x + 1) \times 2x$
• $(2x + 1) \times 2x$

Explication : Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x^2 - 3$ ($v' = 2x$) : $h' = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x)$, soit $6x^2 + 2x - 6$ après développement. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Question 8 : Soit $k(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ pour $x \neq 2$. Que vaut $k'(x)$ ?

• $\dfrac{1}{(x-2)^2}$
• $\dfrac{3}{(x-2)^2}$
• $1$
• ✓ $\dfrac{-3}{(x-2)^2}$

Explication : $k' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1 \times (x-2) - (x+1) \times 1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}$.

Question 9 : Sachant que $f(4) = 2$ et $f'(4) = \dfrac{1}{4}$ pour $f(x) = \sqrt{x}$, quelle valeur approchée de $\sqrt{4{,}2}$ obtient-on par approximation affine ?

• ✓ $2{,}05$
• $2{,}2$
• $2{,}1$
• $2{,}5$

Explication : $f(4 + h) \approx f(4) + f'(4)\,h$ avec $h = 0{,}2$ : $\sqrt{4{,}2} \approx 2 + \dfrac{1}{4} \times 0{,}2 = 2{,}05$. (Valeur exacte : $2{,}0494\ldots$)

Question 10 : Laquelle de ces fonctions n'est pas dérivable en $0$ ?

• $x \mapsto x^2$
• $x \mapsto x^3$
• ✓ $x \mapsto |x|$
• $x \mapsto 5x - 1$

Explication : Pour $|x|$, le taux de variation en $0$ vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : pas de limite, donc pas de nombre dérivé en $0$. La courbe présente un « point anguleux ».