Comment choisir entre cosinus, sinus et tangente ?

On repère les deux côtés concernés par l'exercice (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche, ou les deux connus). Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente. Le mémo SOH-CAH-TOA résume ces trois cas.

Comment calculer un angle avec la calculatrice ?

On calcule d'abord le rapport (par exemple cos B = 5/10 = 0,5), puis on utilise la touche cos⁻¹ (ou Arccos, ou « acos ») de la calculatrice, réglée en degrés : cos⁻¹(0,5) = 60°.

Pourquoi un cosinus ou un sinus ne peut-il pas dépasser 1 ?

Parce que l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle : le côté adjacent ou opposé, divisé par l'hypoténuse, donne toujours un nombre strictement compris entre 0 et 1. La tangente, elle, peut prendre n'importe quelle valeur positive.

Trigonométrie — BgMaths

Définitions

Définition 1 — hypoténuse, côté adjacent, côté opposé. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , pour l’angle aigu $\hat{B}$ :

l’hypoténuse $[BC]$ est le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long ;
le côté adjacent à $\hat{B}$ est $[AB]$ : il touche l’angle $\hat{B}$ sans être l’hypoténuse ;
le côté opposé à $\hat{B}$ est $[AC]$ : il est en face de l’angle $\hat{B}$ .

Exemple : les noms « adjacent » et « opposé » dépendent de l’angle choisi — le côté adjacent à $\hat{B}$ est le côté opposé à $\hat{C}$ .

Définition 2 — cosinus, sinus, tangente. Dans un triangle rectangle en $A$ , pour l’angle aigu $\hat{B}$ :

$\cos\hat{B} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC} \qquad \sin\hat{B} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC} \qquad \tan\hat{B} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AC}{AB}$

Mémo : SOH-CAH-TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent). Exemple : $AB = 6$ , $AC = 8$ , $BC = 10$ : $\cos\hat{B} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ ; $\sin\hat{B} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$ ; $\tan\hat{B} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ .

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — encadrement du cosinus et du sinus. Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours strictement compris entre 0 et 1, car l’hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. La tangente, elle, peut prendre n’importe quelle valeur positive (plus grande que 1 dès que l’angle dépasse $45^\circ$ ). Exemple : un calcul qui donne $\cos\hat{B} = 1{,}2$ est forcément faux — le numérateur et le dénominateur ont été inversés.

Propriété 2 — angles aigus complémentaires. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : $\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ$ (la somme des angles vaut $180^\circ$ et l’angle droit en prend $90^\circ$ ). Comme le côté adjacent à $\hat{B}$ est le côté opposé à $\hat{C}$ , on a aussi $\cos\hat{B} = \sin\hat{C}$ . Exemple : si $\hat{B} = 35^\circ$ , alors $\hat{C} = 90 - 35 = 55^\circ$ , sans aucun calcul trigonométrique.

Propriété 3 — valeurs exactes à connaître. Trois valeurs reviennent souvent (on peut les retrouver à la calculatrice) :

Angle	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
valeur	$\sin 30^\circ = 0{,}5$	$\tan 45^\circ = 1$	$\cos 60^\circ = 0{,}5$

Exemple : $\cos\hat{B} = 0{,}5$ donne directement $\hat{B} = 60^\circ$ , et $\tan\hat{B} = 1$ donne $\hat{B} = 45^\circ$ (triangle rectangle isocèle).

Méthodes

Méthode 1 — choisir la bonne formule.

Repérer l’angle étudié, puis nommer les trois côtés par rapport à lui (Définition 1).
Identifier les deux côtés concernés par l’exercice : celui que l’on connaît et celui que l’on cherche (ou les deux connus, si on cherche l’angle).
La formule s’impose :

Côtés en jeu	Formule
adjacent et hypoténuse	cosinus
opposé et hypoténuse	sinus
opposé et adjacent	tangente

Exemple résolu : on connaît $BC$ (hypoténuse) et on cherche $AC$ (opposé à $\hat{B}$ ) : opposé et hypoténuse → sinus.

Méthode 2 — calculer une longueur.

Écrire la formule choisie (Méthode 1) avec les noms des côtés, puis remplacer par les valeurs connues.
Isoler l’inconnue : si elle est au numérateur, on multiplie.
Vérifier que la calculatrice est en mode degrés (« D » ou « DEG »), calculer, arrondir comme demandé avec $\approx$ , écrire l’unité.

Exemple résolu : $ABC$ rectangle en $A$ , $\hat{B} = 40^\circ$ , $BC = 12$ cm. $[AC]$ est opposé à $\hat{B}$ et $[BC]$ est l’hypoténuse : $\sin 40^\circ = \dfrac{AC}{12}$ , donc $AC = 12 \times \sin 40^\circ \approx 7{,}7$ cm.

Méthode 3 — calculer une longueur quand l’inconnue est au dénominateur.

Écrire la formule : l’hypoténuse (ou le côté adjacent pour la tangente) peut se retrouver au dénominateur.
Dans ce cas, on divise le numérateur par la valeur de la ligne trigonométrique : $BC = \dfrac{AC}{\sin\hat{B}}$ .

Exemple résolu : $\hat{C} = 25^\circ$ et $AB = 5$ cm (opposé à $\hat{C}$ ). $\sin 25^\circ = \dfrac{5}{BC}$ , donc $BC = \dfrac{5}{\sin 25^\circ} \approx 11{,}8$ cm. On divise, car c’est l’hypoténuse (au dénominateur) qui est inconnue.

Méthode 4 — calculer un angle.

Identifier les deux côtés connus et choisir la formule (Méthode 1).
Calculer le rapport (par exemple $\cos\hat{B} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$ ).
Utiliser la fonction réciproque de la calculatrice : $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ (aussi notées Arccos, Arcsin, Arctan), en mode degrés, puis arrondir comme demandé.

Exemple résolu : $AB = 5$ (adjacent), $BC = 10$ (hypoténuse) : $\cos\hat{B} = 0{,}5$ , donc $\hat{B} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60^\circ$ (Propriété 3). Avec $AC = 3$ (opposé) et $AB = 4$ (adjacent) : $\tan\hat{B} = 0{,}75$ , donc $\hat{B} = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 37^\circ$ .

Méthode 5 — résoudre un problème concret et rédiger.

Faire un schéma et repérer le triangle rectangle de la situation (sol horizontal, mur vertical, ligne de visée…).
Rédiger comme au brevet : « le triangle … est rectangle en … », puis « dans ce triangle, $\tan\hat{B} = \dfrac{\ldots}{\ldots}$ » en nommant les côtés.
Calculer (Méthodes 2 à 4), arrondir comme demandé et conclure avec l’unité ; une valeur arrondie se note avec $\approx$ , jamais avec $=$ .

Exemple résolu : à $20$ m du pied d’un arbre, on voit son sommet sous un angle de $35^\circ$ . La hauteur $h$ est opposée à l’angle, les $20$ m sont adjacents : $\tan 35^\circ = \dfrac{h}{20}$ , donc $h = 20 \times \tan 35^\circ \approx 14$ m.

Pièges classiques

Un cosinus de $1{,}2$ , c’est impossible. Si le calcul donne un cosinus ou un sinus supérieur à 1, le numérateur et le dénominateur ont été inversés : l’hypoténuse doit toujours être au dénominateur (Propriété 1).
Triangle rectangle obligatoire. Les formules de la Définition 2 ne servent que dans un triangle rectangle : vérifier (ou démontrer) l’angle droit avant de les utiliser.
Calculatrice en degrés. Un résultat absurde vient souvent du mode radians : vérifier l’indication « D » ou « DEG » avant tout calcul.
$=$ ou $\approx$ ? Une valeur exacte s’écrit avec $=$ , une valeur arrondie avec $\approx$ ; au brevet, l’énoncé précise l’arrondi attendu.

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