Quiz — Trigonométrie

Question 1 : $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm. Que vaut $\cos\hat{B}$ ?

• $\frac{8}{10} = 0{,}8$
• $\frac{10}{6}$
• ✓ $\frac{6}{10} = 0{,}6$
• $\frac{6}{8} = 0{,}75$

Explication : Le côté adjacent à $\hat{B}$ est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$ : $\cos\hat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0{,}6$.

Question 2 : Même triangle ($AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 10$, rectangle en $A$). Que vaut $\sin\hat{B}$ ?

• $0{,}75$
• $0{,}6$
• ✓ $0{,}8$
• $1{,}25$

Explication : Le côté opposé à $\hat{B}$ est $[AC]$ : $\sin\hat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0{,}8$.

Question 3 : Même triangle. Que vaut $\tan\hat{B}$ ?

• $0{,}6$
• ✓ $\frac{4}{3}$
• $\frac{3}{4}$
• $0{,}8$

Explication : $\tan\hat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. La tangente peut dépasser 1, contrairement au cosinus et au sinus.

Question 4 : $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 10$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\hat{B}$ ?

• $0{,}5^\circ$
• ✓ $60^\circ$
• $30^\circ$
• $45^\circ$

Explication : $\cos\hat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{10} = 0{,}5$, donc $\hat{B} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60^\circ$.

Question 5 : $ABC$ est rectangle en $A$, $\hat{B} = 40^\circ$ et $BC = 12$ cm. Quelle est la longueur $AC$, arrondie au dixième ?

• ✓ $7{,}7$ cm
• $10{,}1$ cm
• $14{,}3$ cm
• $9{,}2$ cm

Explication : $[AC]$ est opposé à $\hat{B}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\sin 40^\circ = \frac{AC}{12}$, donc $AC = 12 \times \sin 40^\circ \approx 12 \times 0{,}643 \approx 7{,}7$ cm. (Avec le cosinus, on obtiendrait $AB \approx 9{,}2$ cm.)

Question 6 : Depuis un point situé à $20$ m du pied d'un arbre, on voit son sommet sous un angle de $35^\circ$ par rapport à l'horizontale. Quelle est la hauteur de l'arbre (arrondie au mètre) ?

• $11$ m
• ✓ $14$ m
• $29$ m
• $16$ m

Explication : Dans le triangle rectangle formé par le sol, l'arbre et la ligne de visée, la hauteur $h$ est opposée à l'angle et les $20$ m sont adjacents : $\tan 35^\circ = \frac{h}{20}$, donc $h = 20 \times \tan 35^\circ \approx 20 \times 0{,}700 \approx 14$ m.

Question 7 : $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AC = 3$ cm (opposé à $\hat{B}$) et $AB = 4$ cm. Quelle est la mesure de $\hat{B}$, arrondie au degré ?

• $53^\circ$
• $41^\circ$
• $49^\circ$
• ✓ $37^\circ$

Explication : $\tan\hat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} = 0{,}75$, donc $\hat{B} = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9^\circ \approx 37^\circ$. L'angle $\hat{C}$ mesure alors environ $53^\circ$.

Question 8 : $ABC$ est rectangle en $A$, $\hat{C} = 25^\circ$ et $AB = 5$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $BC$, arrondie au dixième ?

• $2{,}1$ cm
• $10{,}7$ cm
• ✓ $11{,}8$ cm
• $4{,}5$ cm

Explication : $[AB]$ est opposé à $\hat{C}$ : $\sin 25^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{BC}$, donc $BC = \frac{5}{\sin 25^\circ} \approx \frac{5}{0{,}423} \approx 11{,}8$ cm. On divise, car c'est l'hypoténuse (au dénominateur) qui est inconnue.

Question 9 : Un élève obtient $\cos\hat{B} = 1{,}2$ dans un triangle rectangle. Que peut-on en dire ?

• C'est possible si le triangle est isocèle
• C'est correct : le cosinus n'a pas de limite
• C'est possible si $\hat{B}$ est supérieur à $45^\circ$
• ✓ C'est impossible : un cosinus est toujours inférieur à 1

Explication : Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Comme l'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours inférieur à 1. L'élève a sûrement inversé le numérateur et le dénominateur.

Question 10 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $\hat{B} = 35^\circ$. Que vaut $\hat{C}$ ?

• $65^\circ$
• ✓ $55^\circ$
• $35^\circ$
• $145^\circ$

Explication : Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : $\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ$, donc $\hat{C} = 90 - 35 = 55^\circ$.