Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs (somme divisée par l'effectif) : elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : elle n'est pas modifiée par une valeur très grande ou très petite. Quand les deux sont très différentes, la série contient des valeurs extrêmes.

Comment construire une boîte à moustaches ?

On calcule cinq valeurs : le minimum, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3 et le maximum. Au-dessus d'un axe gradué, on dessine une boîte de Q1 à Q3, coupée par un trait à la médiane, puis deux « moustaches » qui rejoignent le minimum et le maximum. La boîte contient environ la moitié centrale des valeurs.

Quel est le lien entre fréquence et probabilité ?

Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. Une fréquence observée sur 10 000 lancers est proche de la probabilité théorique, mais ne lui est pas exactement égale.

Statistiques — BgMaths

Définitions

Définition 1 — effectif et fréquence. L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série. La fréquence est la part de cette valeur dans la série :

$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$

Elle s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage, et la somme des fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$ ). Exemple : $\dfrac{12}{40} = 0{,}3 = 30\,\%$ .

Définition 2 — moyenne. La moyenne d’une série est la somme de toutes les valeurs divisée par l’effectif total. Quand les valeurs sont données avec des effectifs, chaque valeur est multipliée par son effectif (moyenne pondérée) :

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots}$

Exemple : deux notes de 8, trois de 12 et cinq de 15 : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 8 + 3 \times 12 + 5 \times 15}{10} = \dfrac{127}{10} = 12{,}7$ .

Définition 3 — médiane. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Exemple : la série ordonnée $3 ; 7 ; 8 ; \mathbf{9} ; 10 ; 12 ; 15$ (7 valeurs) a pour médiane $9$ .

Définition 4 — étendue. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min}$ . Elle mesure la dispersion de la série : deux classes peuvent avoir la même moyenne et des étendues très différentes. Exemple : pour $3 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15$ , l’étendue vaut $15 - 3 = 12$ .

Définition 5 — quartiles. Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins $75\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales. Exemple : pour $2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15$ (8 valeurs) : $\frac{1}{4} \times 8 = 2$ , donc $Q_1$ est la $2^{\text{e}}$ valeur, $Q_1 = 4$ ; $\frac{3}{4} \times 8 = 6$ , donc $Q_3$ est la $6^{\text{e}}$ valeur, $Q_3 = 10$ .

Définition 6 — expérience aléatoire, événement, probabilité. Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, dont on ne peut pas prévoir laquelle se produira. Un événement est un ensemble d’issues. Sa probabilité est un nombre compris entre $0$ (événement impossible) et $1$ (événement certain) qui mesure sa chance de se produire. Exemple : lancer un dé ; « obtenir 6 » est un événement de probabilité $\frac{1}{6}$ .

Définition 7 — « A ou B », « A et B », événement contraire. Pour deux événements $A$ et $B$ : $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé quand au moins un des deux l’est ; $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand les deux le sont en même temps. L’événement contraire $\bar{A}$ est réalisé exactement quand $A$ ne l’est pas. Exemple : avec un dé, $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir au moins 5 » : $A \cup B = \{2 ; 4 ; 5 ; 6\}$ et $A \cap B = \{6\}$ .

Propriétés

Propriété 1 — moyenne et médiane face aux valeurs extrêmes.

	Moyenne	Médiane
Tient compte de toutes les valeurs	oui	non (seulement de leur rang)
Sensible aux valeurs extrêmes	oui	non

Quand moyenne et médiane sont très différentes, la série contient des valeurs extrêmes : la médiane décrit alors mieux « l’individu typique ». Exemple : la série $10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14$ a pour moyenne 12 et médiane 12 ; en ajoutant $50$ , la moyenne bondit à $\dfrac{110}{6} \approx 18{,}3$ mais la médiane passe seulement à $12{,}5$ .

Propriété 2 — probabilité en situation d’équiprobabilité. Quand toutes les issues ont la même chance de se produire :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} \qquad\text{et}\qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Exemple : dé équilibré : $P(\text{obtenir } 6) = \dfrac{1}{6}$ , donc $P(\text{ne pas obtenir } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .

Propriété 3 — relation entre réunion et intersection. Pour deux événements $A$ et $B$ :

$P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B) \qquad\text{soit}\qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Additionner $P(A)$ et $P(B)$ compte deux fois les issues communes : il faut retirer $P(A \cap B)$ une fois. Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B$ impossible), la formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Exemple : avec un dé, $P(\text{obtenir } 1 \text{ ou } 6) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Propriété 4 — stabilisation des fréquences. Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se stabilise autour de sa probabilité. La fréquence reste une valeur observée : elle est proche de la probabilité sans lui être forcément égale. Exemple : sur $10\,000$ lancers d’un dé équilibré, la fréquence du $6$ est proche de $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ (par exemple $0{,}171$ ) ; sur $10$ lancers seulement, elle peut valoir $0$ ou $0{,}4$ : la fluctuation est plus forte.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une moyenne pondérée.

Multiplier chaque valeur par son effectif.
Additionner ces produits.
Diviser par l’effectif total (et non par le nombre de valeurs différentes).

Exemple résolu : notes 8, 12 et 15 d’effectifs 2, 3 et 5 : $\bar{x} = \dfrac{2 \times 8 + 3 \times 12 + 5 \times 15}{2 + 3 + 5} = \dfrac{16 + 36 + 75}{10} = 12{,}7$ .

Méthode 2 — déterminer une médiane.

Ranger les valeurs dans l’ordre croissant.
Effectif $n$ impair : la médiane est la valeur du milieu (rang $\frac{n+1}{2}$ ).
Effectif $n$ pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple résolu : $7 ; 12 ; 3 ; 15 ; 9 ; 8 ; 10$ → ordonnée : $3 ; 7 ; 8 ; \mathbf{9} ; 10 ; 12 ; 15$ → médiane $= 9$ . Pour $4 ; 6 ; 9 ; 13$ (effectif pair) : médiane $= \dfrac{6 + 9}{2} = 7{,}5$ .

Méthode 3 — déterminer les quartiles d’une série ordonnée.

Calculer $\dfrac{n}{4}$ (pour $Q_1$ ) et $\dfrac{3n}{4}$ (pour $Q_3$ ).
Si le résultat est entier, prendre la valeur de ce rang ; sinon, arrondir à l’entier supérieur.

Exemple résolu : $2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15$ (8 valeurs) : $\dfrac{8}{4} = 2$ donc $Q_1 = 4$ ( $2^{\text{e}}$ valeur) ; $\dfrac{3 \times 8}{4} = 6$ donc $Q_3 = 10$ ( $6^{\text{e}}$ valeur). Pour 10 valeurs : $\dfrac{10}{4} = 2{,}5$ , donc $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur.

Méthode 4 — utiliser les effectifs cumulés croissants. Quand la série est donnée par un tableau d’effectifs (ou un diagramme en barres), on ne peut pas « ranger les valeurs » une à une.

Calculer, pour chaque valeur, l’effectif cumulé croissant : le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur.
Déterminer le rang de l’indicateur cherché (moitié de l’effectif pour la médiane, quart pour $Q_1$ , trois quarts pour $Q_3$ ).
Lire la valeur où le cumul atteint ce rang.

Exemple résolu : valeurs $0, 1, 2, 3$ d’effectifs $3, 5, 6, 2$ (total 16), cumuls $3 ; 8 ; 14 ; 16$ . Médiane : effectif pair, moyenne des $8^{\text{e}}$ et $9^{\text{e}}$ valeurs ; le cumul atteint $8$ à la valeur $1$ et la $9^{\text{e}}$ valeur est un $2$ : médiane $= \dfrac{1 + 2}{2} = 1{,}5$ . $Q_1$ : $\dfrac{16}{4} = 4$ , la $4^{\text{e}}$ valeur : le cumul dépasse $4$ à la valeur $1$ , donc $Q_1 = 1$ . $Q_3$ : $\dfrac{3 \times 16}{4} = 12$ , la $12^{\text{e}}$ valeur : le cumul dépasse $12$ à la valeur $2$ , donc $Q_3 = 2$ .

Méthode 5 — construire et lire une boîte à moustaches.

Calculer les cinq nombres : minimum, $Q_1$ , médiane, $Q_3$ , maximum.
Au-dessus d’un axe gradué, tracer la boîte de $Q_1$ à $Q_3$ , coupée par un trait à la médiane, puis les deux moustaches jusqu’au minimum et au maximum.
Lire : la boîte contient environ la moitié centrale des valeurs ; la longueur totale du diagramme est l’étendue. Deux boîtes côte à côte permettent de comparer deux séries d’un coup d’œil.

Exemple résolu (figure) : temps des 8 coureurs $2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15$ : boîte de $Q_1 = 4$ à $Q_3 = 10$ , trait à la médiane $7{,}5$ , moustaches jusqu’à $2$ et $15$ — environ la moitié des coureurs ont mis entre 4 et 10 min.

Méthode 6 — calculer les indicateurs avec un tableur. Pour une série saisie en colonne (par exemple de A1 à A20) :

Indicateur	Formule
Moyenne	`=MOYENNE(A1:A20)`
Médiane	`=MEDIANE(A1:A20)`
Étendue	`=MAX(A1:A20)-MIN(A1:A20)`

Le tableur sert aussi à lire des données représentées en diagramme : diagramme en bâtons (valeurs isolées), diagramme circulaire (un secteur de $72°$ sur $360°$ représente $20\,\%$ ), diagramme en barres par classes de même amplitude.

Exemple résolu (figure ci-dessous, effectif total $2\,650$ ) : effectif des moins de 26 ans $= 100 + 200 = 300$ ; fréquence des 30 ans et plus $= \dfrac{1100 + 700 + 150}{2650} \approx 0{,}74$ .

Méthode 7 — calculer la probabilité de « A ou B ».

Identifier $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
Appliquer la Propriété 3 : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Si $A$ et $B$ sont incompatibles, additionner simplement.

Exemple résolu : dans un collège, $60\,\%$ des élèves font du sport ( $A$ ), $30\,\%$ de la musique ( $B$ ), $10\,\%$ les deux : $P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}8$ . Un élève sur cinq ne fait donc ni sport ni musique : $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .

Méthode 8 — dénombrer avec un arbre (expérience à deux épreuves). Quand on répète deux fois une épreuve (deux lancers, deux tirages avec remise…) :

Construire un arbre (ou un tableau à double entrée) listant toutes les issues.
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Exemple résolu (figure) : deux lancers d’une pièce : issues PP, PF, FP, FF équiprobables ; $P(\text{deux piles}) = \dfrac{1}{4}$ et $P(\text{au moins une face}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ (événement contraire).

Méthode 9 — simuler et estimer une probabilité.

Simuler l’expérience plutôt que de la répéter réellement : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) dans un tableur, ou « nombre aléatoire entre 1 et 6 » dans Scratch, dans une boucle qui compte les succès.
Calculer la fréquence observée : elle se rapproche de la probabilité quand le nombre de répétitions augmente (Propriété 4).
Inversement, quand la probabilité est inconnue (punaise, dé pipé), l’estimer par la fréquence observée sur un grand nombre d’essais.

Exemple résolu : on simule $600$ lancers de dé et on compte les $6$ : le compteur est proche de $600 \times \dfrac{1}{6} = 100$ (sans être exactement $100$ ), et la fréquence $\dfrac{\text{compteur}}{600}$ est proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

Pièges classiques

Une valeur extrême déplace la moyenne, pas la médiane (Propriété 1) : pour décrire « l’élève typique » d’une série avec des valeurs extrêmes, préférer la médiane.
$P(A \cup B)$ n’est pas $P(A) + P(B)$ en général : il faut retirer $P(A \cap B)$ , sinon les issues communes sont comptées deux fois (Propriété 3).
La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$ , jamais du minimum au maximum : ce sont les moustaches qui rejoignent les extrêmes (Méthode 5).
Fréquence n’est pas probabilité : sur 10 000 lancers, la fréquence du 6 est proche de $\frac{1}{6}$ mais ne vaut pas exactement $\frac{1}{6}$ (Propriété 4).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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