Pythagore et Thalès

Théorème 1 (Pythagore). Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ Le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés. Exemple : $ABC$ rectangle en $C$ avec $AC = 8$ cm et $BC = 15$ cm : $AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$, donc $AB = \sqrt{289} = 17$ cm.

Théorème 2 (réciproque de Pythagore). Si, dans un triangle $ABC$, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$ (l’angle droit est opposé au plus grand côté). Exemple : côtés $7$, $24$ et $25$ : $25^2 = 625$ et $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ — l’égalité est vérifiée, le triangle est rectangle.

Propriété 1 — contraposée de Pythagore. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ (où $[BC]$ est le plus grand côté), alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle. Exemple : côtés $6$, $8$ et $11$ : $11^2 = 121$ mais $6^2 + 8^2 = 100$ — pas d’égalité, le triangle n’est pas rectangle.

Théorème 3 (Thalès). Dans la configuration des triangles emboîtés ($M \in [AB]$, $N \in [AC]$, $(MN) \parallel (BC)$) : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ Dans la configuration papillon ($(AB)$ et $(CD)$ sécantes en $O$, $(AC) \parallel (BD)$) : $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}$ Les rapports partent du sommet commun ($A$ ou $O$) : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur ; le troisième rapport compare les côtés parallèles. Exemple : $AM = 4$, $AB = 10$, $BC = 15$ : $\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}$, d’où $MN = \dfrac{4 \times 15}{10} = 6$.

Théorème 4 (réciproque de Thalès). Si $M \in [AB]$, $N \in [AC]$, si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont dans le même ordre, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ alors $(MN) \parallel (BC)$. Elle sert à démontrer un parallélisme, et fonctionne aussi dans la configuration papillon ($A$ et $B$ de part et d’autre de $O$, de même pour $C$ et $D$). Exemple : $AM = 3$, $AB = 4{,}5$, $AN = 2$, $AC = 3$ : $\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3}$ — rapports égaux, même ordre : $(MN) \parallel (BC)$.

Propriété 2 — contraposée de Thalès. Si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Exemple : $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$, $AC = 7$ : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{3}{7} \approx 0{,}43$ — rapports différents, les droites ne sont pas parallèles.

Théorème 5 (droite des milieux). Dans un triangle $ABC$, trois énoncés (vus en 4ᵉ, à mobiliser en 3ᵉ) :

1. si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$, alors $(MN) \parallel (BC)$ — pour prouver un parallélisme ;
2. dans ce cas, $MN = \dfrac{BC}{2}$ — pour calculer une longueur ;
3. si $M$ est le milieu de $[AB]$ et si la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$, alors $N$ est le milieu de $[AC]$ — pour prouver qu’un point est un milieu.

C’est le théorème de Thalès dans le cas particulier où le rapport vaut $\dfrac{1}{2}$. Exemple : $BC = 9$ cm, $M$ et $N$ milieux de $[AB]$ et $[AC]$ : $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 4{,}5$ cm.

Théorème 6 (triangle rectangle et cercle circonscrit). Dans les deux sens :

• si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$ : $[BC]$ est un diamètre et $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$ — en particulier, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse ;
• réciproquement, si $A$ est un point d’un cercle de diamètre $[BC]$ (distinct de $B$ et $C$), alors $ABC$ est rectangle en $A$.

Exemple : un triangle rectangle d’hypoténuse $10$ cm a un cercle circonscrit de rayon $5$ cm.