Quiz — Pythagore et Thalès

Question 1 : Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ avec $AC = 8$ cm et $BC = 15$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $[AB]$ ?

• $23$ cm
• $13$ cm
• ✓ $17$ cm
• $\sqrt{161}$ cm

Explication : D'après le théorème de Pythagore, $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 64 + 225 = 289$, donc $AB = \sqrt{289} = 17$ cm.

Question 2 : Un triangle a pour côtés $7$ cm, $24$ cm et $25$ cm. Est-il rectangle ?

• ✓ Oui, car $25^2 = 7^2 + 24^2$
• Non, car $25^2 \neq 7^2 + 24^2$
• Oui, car $25$ est le plus grand côté
• Non, car $25 \neq 7 + 24$

Explication : $25^2 = 625$ et $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. L'égalité de Pythagore est vérifiée : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au côté de 25 cm).

Question 3 : Un triangle a pour côtés $6$ cm, $8$ cm et $11$ cm. Que peut-on conclure ?

• Il est rectangle, car $11$ est le plus grand côté
• ✓ Il n'est pas rectangle, car $11^2 \neq 6^2 + 8^2$
• On ne peut pas savoir sans mesurer les angles
• Il est rectangle, car $6^2 + 8^2 = 100$

Explication : $11^2 = 121$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Comme $121 \neq 100$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée : le triangle n'est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore).

Question 4 : $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm et $BC = 15$ cm. Que vaut $MN$ ?

• $37{,}5$ cm
• ✓ $6$ cm
• $9$ cm
• $21$ cm

Explication : Théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$, soit $\frac{4}{10} = \frac{MN}{15}$, d'où $MN = \frac{4 \times 15}{10} = 6$ cm.

Question 5 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $B$ de part et d'autre de $O$, et $(AC) \parallel (BD)$. On donne $OA = 3$ cm, $OB = 4{,}5$ cm et $OC = 2$ cm. Que vaut $OD$ ?

• $2{,}5$ cm
• $6{,}75$ cm
• ✓ $3$ cm
• $1{,}5$ cm

Explication : Configuration papillon : $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, soit $\frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{OD}$, d'où $OD = \frac{2 \times 4{,}5}{3} = 3$ cm.

Question 6 : Même configuration papillon ($OA = 3$, $OB = 4{,}5$). Si $AC = 2{,}6$ cm, que vaut $BD$ ?

• $4{,}1$ cm
• ✓ $3{,}9$ cm
• $1{,}73$ cm
• $5{,}2$ cm

Explication : Le troisième rapport de Thalès est $\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} = \frac{3}{4{,}5}$, donc $BD = \frac{2{,}6 \times 4{,}5}{3} = 3{,}9$ cm.

Question 7 : $M \in [AB]$, $N \in [AC]$, $AM = 3$, $AB = 4{,}5$, $AN = 2$ et $AC = 3$. Que peut-on conclure ?

• $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles
• On ne peut rien conclure
• ✓ $(MN) \parallel (BC)$ d'après la réciproque de Thalès
• $MN = BC$

Explication : $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{3}$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$. Les rapports sont égaux et les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$.

Question 8 : $M \in [AB]$, $N \in [AC]$, $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$ et $AC = 7$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

• Oui, car $2 + 3 = 5$
• Oui, d'après le théorème de Thalès
• ✓ Non, car $\frac{2}{5} \neq \frac{3}{7}$
• Non, car $MN < BC$

Explication : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{7} \approx 0{,}43$. Les rapports sont différents : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Question 9 : Dans un triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$. On sait que $BC = 9$ cm. Que peut-on affirmer ?

• ✓ $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 4{,}5$ cm
• $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 9$ cm
• $(MN) \perp (BC)$ et $MN = 4{,}5$ cm
• On ne peut rien dire sans connaître les autres côtés

Explication : D'après le théorème de la droite des milieux, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et le segment mesure la moitié de ce côté : $MN = \frac{9}{2} = 4{,}5$ cm. C'est Thalès avec le rapport $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}$.

Question 10 : $[BC]$ est un diamètre d'un cercle et $A$ est un point de ce cercle, distinct de $B$ et $C$. Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?

• ✓ Il est rectangle en $A$
• Il est rectangle en $B$
• Il est équilatéral
• Il est isocèle en $A$

Explication : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre, alors il est rectangle, et l'angle droit est opposé à ce diamètre : $ABC$ est rectangle en $A$. Réciproquement, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.