Comment simplifier l'écriture de $8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8$ ?

Cinq facteurs égaux à 8 s'écrivent $8^5$. De même, $\frac{1}{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6} = 6^{-5}$.

Quelles sont les règles de calcul sur les puissances ?

$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \times n}$ et $a^n \times b^n = (ab)^n$. Elles ne s'appliquent qu'à des multiplications et divisions, jamais à des additions.

Comment calculer avec la notation scientifique ?

On multiplie les nombres décimaux entre eux et les puissances de 10 entre elles, puis on remet le résultat sous forme scientifique si nécessaire.

Puissances et notation scientifique

Définitions

Définition 1 — puissance d’exposant positif. Pour $a$ un nombre et $n$ un entier positif non nul, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Exemple : $8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5$ ; $0{,}3^4 = 0{,}3 \times 0{,}3 \times 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}0081$ .

Définition 2 — exposant zéro et exposant négatif. Pour $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (l’inverse de $a^n$ ). Exemple : $\dfrac{1}{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6} = \dfrac{1}{6^5} = 6^{-5}$ ; $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .

Définition 3 — notation scientifique. Un nombre est écrit en notation scientifique quand il est de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif. Exemple : $0{,}00052 = 5{,}2 \times 10^{-4}$ et $340\,000\,000 = 3{,}4 \times 10^{8}$ . Attention : $52 \times 10^{-5}$ est égal à $0{,}00052$ mais ce n’est pas une notation scientifique, car $52 \geq 10$ . L’exposant $n$ donne l’ordre de grandeur du nombre.

Propriétés

Propriété 1 — produit de puissances de même base. $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : on additionne les exposants. Exemple : $10^{-2} \times 10^{5} = 10^{3} = 1000$ .

Propriété 2 — quotient de puissances de même base. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ : on soustrait les exposants. Exemple : $\dfrac{7^8}{7^5} = 7^3 = 343$ .

Propriété 3 — puissance de puissance. $(a^m)^n = a^{m \times n}$ : on multiplie les exposants. Exemple : $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ — on vérifie : $8^2 = 64$ .

Propriété 4 — produit de puissances de même exposant. $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ : mêmes exposants, on multiplie les bases. Exemple : $2^5 \times 5^5 = 10^5 = 100\,000$ .

Aucune règle pour les sommes : $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ , et certainement pas $2^7 = 128$ . On calcule chaque terme.

Propriété 5 — puissances de 10 et préfixes. Les puissances de 10 servent aux conversions d’unités :

Préfixe	nano	micro	milli	kilo	méga	giga
Puissance de 10	$10^{-9}$	$10^{-6}$	$10^{-3}$	$10^{3}$	$10^{6}$	$10^{9}$

Exemple : $1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$ , $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$ , $1\ \text{Go} = 10^9$ octets.

Méthodes

Méthode 1 — appliquer les règles de calcul.

Vérifier que l’opération est un produit, un quotient ou une puissance de puissance (jamais une somme).
Repérer si les bases sont égales (Propriétés 1 et 2), si les exposants sont égaux (Propriété 4), ou si les puissances sont emboîtées (Propriété 3), puis appliquer la règle sur les exposants.

Exemple : $\dfrac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \dfrac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$ . En revanche, $2^3 \times 3^4$ ne se simplifie pas : ni la même base, ni le même exposant.

Méthode 2 — écrire un nombre en notation scientifique.

Déplacer la virgule pour obtenir un nombre $a$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule ( $1 \leq a < 10$ ).
Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée : c’est l’exposant de 10, positif pour un grand nombre, négatif pour un nombre plus petit que 1.
Si le résultat d’un calcul sort de $[1\,;10[$ , rectifier : $12 \times 10^5 = 1{,}2 \times 10^6$ .

Exemple : $0{,}00052 = 5{,}2 \times 10^{-4}$ (virgule déplacée de 4 rangs vers la droite) ; $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ .

Méthode 3 — calculer en notation scientifique.

Regrouper les nombres décimaux entre eux et les puissances de 10 entre elles.
Calculer chaque groupe (Propriétés 1 et 2 pour les puissances de 10).
Remettre le résultat en notation scientifique si nécessaire (Méthode 2).

Exemple : $(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-6}) = (3 \times 2) \times (10^4 \times 10^{-6}) = 6 \times 10^{-2}$ ; et $\dfrac{2{,}11 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{15}} = \dfrac{2{,}11}{2} \times 10^{-7-15} = 1{,}055 \times 10^{-22}$ .

Méthode 4 — modéliser une croissance répétée.

Identifier le coefficient appliqué à chaque étape (doubler : $\times 2$ ; rebondir aux trois quarts : $\times 0{,}75$ ).
Compter le nombre d’étapes $n$ : le coefficient global est le coefficient à la puissance $n$ — pas $n$ fois le coefficient.

Exemple : une balle lâchée de 1 m rebondit chaque fois aux trois quarts de la hauteur précédente ; au troisième rebond, elle atteint $1 \times 0{,}75^3 \approx 0{,}42$ m. Une bactérie qui se divise en deux toutes les 30 minutes donne, au bout de 18 h = 36 demi-heures, $2^{36} \approx 6{,}9 \times 10^{10}$ bactéries, soit environ 69 milliards.

La croissance est exponentielle : elle paraît lente au début puis explose.

Méthode 5 — exploiter les ordres de grandeur.

Convertir toutes les grandeurs dans la même unité à l’aide des préfixes (Propriété 5).
Écrire les données en notation scientifique (Méthode 2) et calculer (Méthode 3).
Interpréter l’exposant obtenu : c’est l’ordre de grandeur du résultat.

Exemple : il y a environ $2 \times 10^{15}$ atomes de cuivre dans 211 ng de cuivre. $211\ \text{ng} = 211 \times 10^{-9}\ \text{g} = 2{,}11 \times 10^{-7}\ \text{g}$ , donc un atome pèse $\dfrac{2{,}11 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{15}} \approx 1{,}05 \times 10^{-22}$ g — un nombre impossible à écrire en décimal, c’est exactement pour cela qu’existe la notation scientifique.

Pièges classiques

Les règles portent sur les exposants, pas sur les bases. $2^3 \times 2^4 = 2^7$ (on additionne les exposants, Propriété 1) — mais $2^3 \times 3^3 = 6^3$ (mêmes exposants, on multiplie les bases, Propriété 4), et $2^3 \times 3^4$ ne se simplifie pas du tout. Aucune règle pour les sommes : $2^3 + 2^4 = 24$ , pas $2^7$ . Et une multiplication par 2 répétée $n$ fois, c’est $2^n$ — pas $2n$ : après 36 doublements, on n’a pas 72 bactéries mais $2^{36}$ (Méthode 4).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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