Comment appliquer une augmentation ou une diminution en pourcentage ?

On multiplie par le coefficient multiplicateur : 1 + t/100 pour une augmentation de t %, 1 − t/100 pour une diminution de t %. Augmenter de 15 % revient à multiplier par 1,15 ; diminuer de 20 % revient à multiplier par 0,8.

Pourquoi +20 % puis −20 % ne ramène-t-il pas au prix de départ ?

Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même valeur. Le coefficient global est 1,2 × 0,8 = 0,96 : le prix final est inférieur de 4 % au prix initial. On ne peut jamais additionner des pourcentages d'évolution successifs ; on multiplie les coefficients.

Proportionnalité

Définitions

Définition 1 — grandeurs proportionnelles et coefficient. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre $k$ , appelé coefficient de proportionnalité :

$y = k \times x \qquad\text{soit}\qquad k = \frac{y}{x}$

Exemple : le prix de cahiers identiques est proportionnel à leur nombre ; si 5 cahiers coûtent 12 €, le coefficient est $12 \div 5 = 2{,}4$ € (le prix d’un cahier).

Définition 2 — ratio. Partager une quantité selon le ratio $a : b$ , c’est la découper en $a + b$ parts égales et en attribuer $a$ à l’un, $b$ à l’autre (de même pour un ratio à trois termes $a : b : c$ ). Les parts sont proportionnelles aux nombres du ratio. Exemple : 150 € partagés selon le ratio $2 : 3$ : 5 parts de $150 \div 5 = 30$ €, soit 60 € et 90 €.

Définition 3 — pourcentage d’une quantité. Prendre $t\,\%$ d’une quantité $Q$ , c’est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ :

$t\,\% \text{ de } Q = \frac{t}{100} \times Q$

Exemple : $30\,\%$ de $250 = 0{,}3 \times 250 = 75$ .

Définition 4 — coefficient multiplicateur. Le coefficient multiplicateur d’une évolution est le nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale : $\text{coefficient} = \dfrac{V_{\text{finale}}}{V_{\text{initiale}}}$ . Exemple : un prix qui passe de 50 € à 65 € a pour coefficient $65 \div 50 = 1{,}3$ .

Définition 5 — échelle. L’échelle d’un plan ou d’une carte est le quotient $\dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$ , les deux longueurs étant exprimées dans la même unité. Exemple : à l’échelle $1/25\,000$ , 1 cm sur la carte représente $25\,000$ cm $= 250$ m dans la réalité.

Propriétés

Propriété 1 — reconnaître un tableau de proportionnalité. Un tableau est un tableau de proportionnalité si et seulement si tous les quotients $y \div x$ sont égaux (on compare des quotients, jamais des différences). On peut alors utiliser les propriétés de linéarité : multiplier une colonne par un nombre, ou additionner deux colonnes.

Nombre de cahiers	5	8	10
Prix (€)	12	19,20	24

Exemple : $12 \div 5 = 19{,}20 \div 8 = 24 \div 10 = 2{,}4$ : tableau de proportionnalité de coefficient $2{,}4$ . De même, $x = 3\,;7$ et $y = 4{,}5\,;10{,}5$ est proportionnel car $4{,}5 \div 3 = 10{,}5 \div 7 = 1{,}5$ .

Propriété 2 — proportionnalité et fonction linéaire. Une situation de proportionnalité de coefficient $k$ se modélise par la fonction linéaire $f(x) = kx$ . Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $k$ . Réciproquement, si le graphique n’est pas une droite, ou une droite qui ne passe pas par l’origine, il n’y a pas proportionnalité. Exemple : un mobile à 5 m/s parcourt $d(x) = 5x$ mètres en $x$ secondes : $d(12) = 60$ m.

Propriété 3 — graphique d’une proportionnalité et théorème de Thalès. Si $O$ , $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ sont trois points du graphique d’une situation de proportionnalité, et $A'$ , $B'$ les projetés de $A$ et $B$ sur l’axe des abscisses, alors les verticales $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles et les triangles $OAA'$ et $OBB'$ sont emboîtés en $O$ : le théorème de Thalès donne

$\frac{OA'}{OB'} = \frac{AA'}{BB'} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac{AA'}{OA'} = \frac{BB'}{OB'} = k$

L’ordonnée est proportionnelle à l’abscisse : c’est pourquoi les points sont alignés avec l’origine. Réciproquement, l’égalité des rapports garantit l’alignement (réciproque de Thalès). Exemple : $O$ , $A(3\,;4{,}5)$ et $B(7\,;10{,}5)$ : $\dfrac{3}{7} = \dfrac{4{,}5}{10{,}5}$ , et $\dfrac{4{,}5}{3} = \dfrac{10{,}5}{7} = 1{,}5 = k$ .

Propriété 4 — évolutions en pourcentage et coefficient multiplicateur.

Évolution	Coefficient multiplicateur	Exemple
augmentation de $t\,\%$	$1 + \dfrac{t}{100}$	$+15\,\%$ : $\times\,1{,}15$
diminution de $t\,\%$	$1 - \dfrac{t}{100}$	$-20\,\%$ : $\times\,0{,}8$

Exemple : un article à 40 € augmente de $15\,\%$ : $40 \times 1{,}15 = 46$ € ; un article à 80 € est soldé à $-25\,\%$ : $80 \times 0{,}75 = 60$ €.

Propriété 5 — évolutions successives. Pour des évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients : on n’additionne jamais les pourcentages. Pour revenir en arrière (retrouver la valeur initiale), on divise par le coefficient. Exemple : $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ , soit une baisse globale de $4\,\%$ — et non un retour au prix de départ.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une quatrième proportionnelle. Trois techniques, au choix :

Coefficient : calculer $k$ (souvent un retour à l’unité), puis multiplier.
Produit en croix : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{c} \implies x = \dfrac{a \times c}{b}$ .
Linéarité : combiner des colonnes connues (doubler, additionner…).

Exemple résolu : 5 cahiers coûtent 12 €, combien pour 8 cahiers ? Coefficient : $12 \div 5 = 2{,}4$ €, donc $8 \times 2{,}4 = 19{,}20$ €. Produit en croix : $\dfrac{8 \times 12}{5} = 19{,}20$ . Linéarité : 10 cahiers coûtent $2 \times 12 = 24$ €, et 13 cahiers $12 + 19{,}20 = 31{,}20$ €.

Méthode 2 — partager selon un ratio.

Compter le nombre total de parts : $a + b$ (ou $a + b + c$ ).
Calculer la valeur d’une part : quantité $\div$ nombre de parts.
Attribuer $a$ parts à l’un, $b$ à l’autre, et vérifier que la somme redonne la quantité.

Exemple résolu : une masse de $1{,}2$ kg partagée selon le ratio $1 : 2 : 3$ : $6$ parts de $1\,200 \div 6 = 200$ g, soit $200$ g, $400$ g et $600$ g. Autre exemple : partager 250 € proportionnellement aux âges 20 et 30 ans : ratio $20 : 30 = 2 : 3$ , soit 100 € et 150 €.

Méthode 3 — appliquer une évolution en pourcentage.

Écrire le coefficient multiplicateur : $1 + \dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \dfrac{t}{100}$ (baisse) (Propriété 4).
Multiplier la valeur initiale par ce coefficient.

Exemple résolu : un article à 40 € augmente de $15\,\%$ : coefficient $1{,}15$ , nouveau prix $40 \times 1{,}15 = 46$ €.

Méthode 4 — retrouver un pourcentage d’évolution.

Calculer le taux : $t = \dfrac{V_{\text{finale}} - V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}} \times 100$ (on divise toujours par la valeur de départ).
Ou calculer le coefficient multiplicateur $\dfrac{V_{\text{finale}}}{V_{\text{initiale}}}$ et le traduire en pourcentage.

Exemple résolu : un prix passe de 50 € à 65 € : $\dfrac{65 - 50}{50} = 0{,}3$ , soit $+30\,\%$ . Ou : coefficient $65 \div 50 = 1{,}3$ , donc $+30\,\%$ .

Méthode 5 — enchaîner des évolutions successives.

Écrire le coefficient multiplicateur de chaque évolution.
Les multiplier pour obtenir le coefficient global (Propriété 5), puis le traduire en pourcentage.
Pour retrouver une valeur avant une évolution, diviser par le coefficient.

Exemple résolu : $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ , soit $-4\,\%$ au total. Deux hausses de $10\,\%$ : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ , soit $+21\,\%$ (et non $+20\,\%$ ). Prix avant une hausse de $25\,\%$ qui aboutit à 75 € : $75 \div 1{,}25 = 60$ €.

Méthode 6 — calculer avec une échelle.

Écrire l’échelle sous la forme $1/n$ : les longueurs réelles valent $n$ fois les longueurs du plan.
Multiplier (plan → réel) ou diviser (réel → plan), dans la même unité.
Convertir le résultat dans une unité adaptée.

Exemple résolu : carte au $1/25\,000$ : 4 cm sur la carte représentent $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1$ km. Deux villes distantes de $7{,}2$ cm sur une carte au $1/250\,000$ sont à $7{,}2 \times 250\,000 = 1\,800\,000$ cm $= 18$ km.

Méthode 7 — vitesses, débits et conversions d’unités. Une vitesse, un débit, une masse volumique sont des quotients de grandeurs ; leur unité rappelle la formule.

Grandeur	Formule	Unités usuelles
Vitesse	$v = \dfrac{d}{t}$	km/h, m/s
Débit	$D = \dfrac{\text{volume}}{\text{durée}}$	m³/s, L/min
Masse volumique	$\rho = \dfrac{\text{masse}}{\text{volume}}$	kg/m³, g/cm³

Vérifier la cohérence des unités : une vitesse en km/h multipliée par une durée en heures donne des km ; convertir d’abord si besoin.
Pour convertir une grandeur composée, convertir chaque unité.

Exemple résolu : 120 km à 80 km/h : $t = \dfrac{120}{80} = 1{,}5$ h $= 1$ h $30$ min. Conversion : $80$ km/h $= \dfrac{80\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} \approx 22{,}2$ m/s — un conducteur qui met 1 s à réagir parcourt environ 22 m. Débit de $328$ m³/s pendant 3 min $= 180$ s : $328 \times 180 = 59\,040$ m³ $= 59\,040\,000$ L (car 1 m³ $= 1\,000$ L). Masse volumique de l’eau : 1 g/cm³, donc 1 L d’eau ( $1\,000$ cm³) pèse 1 kg.

Pièges classiques

Les pourcentages ne s’ajoutent pas et ne se retranchent pas. Une hausse de $20\,\%$ suivie d’une baisse de $20\,\%$ ne ramène pas au prix initial ( $\times\,0{,}96$ , Propriété 5).
Retrouver un prix initial : on divise. Pour retrouver un prix avant une hausse de $25\,\%$ , on divise par $1{,}25$ (Méthode 5) ; on ne retire pas $25\,\%$ .
Vérifier par des quotients. La proportionnalité se teste en comparant les quotients $y \div x$ (Propriété 1), jamais les différences $y - x$ .
Unités cohérentes. Une vitesse en km/h ne se multiplie pas par des minutes : convertir d’abord (Méthode 7).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

Reste informé