Quelle différence entre valeur exacte et valeur approchée ?

$\sqrt{17}$ est la valeur exacte du côté d'un carré d'aire 17 cm². $4{,}123$ est une valeur approchée au millième. Au brevet, on donne d'abord la valeur exacte, puis l'arrondi demandé.

Comment encadrer une racine carrée sans calculatrice ?

On encadre le nombre par deux carrés parfaits consécutifs : $36 < 40 < 49$, donc $6 < \sqrt{40} < 7$. Il faut connaître par cœur les carrés des entiers de 0 à 12.

Peut-on additionner deux racines carrées ?

Pas en général : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ alors que $\sqrt{25} = 5$. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines.

Calcul numérique : rationnels et racines carrées

Définitions

Définition 1 — nombre rationnel. Un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers. Exemple : $\dfrac{2}{3}$ , $-\dfrac{3}{4}$ et $0{,}7 = \dfrac{7}{10}$ sont des rationnels. Les règles de calcul des fractions s’appliquent à tous ces nombres.

Définition 2 — racine carrée. La racine carrée d’un nombre positif $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . Elle apparaît chaque fois qu’on inverse un carré : aire d’un carré, théorème de Pythagore, équation $x^2 = a$ . Exemple : $\sqrt{81} = 9$ car $9^2 = 81$ ; $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ car $0{,}5^2 = 0{,}25$ .

Définition 3 — valeur exacte et valeur approchée. Une valeur exacte peut contenir une racine ou une fraction ( $\sqrt{17}$ , $\frac{29}{30}$ ) ; une valeur approchée est un décimal arrondi ( $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ au centième). Au brevet, on donne d’abord la valeur exacte, puis l’arrondi demandé : arrondir trop tôt fausse la suite des calculs.

Propriétés

Propriété 1 — opérations sur les fractions.

Opération	Règle
Addition, soustraction	même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs
Multiplication	numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux
Division	multiplier par l’inverse
Puissance	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Exemple : $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{15}$ ; $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ .

Propriété 2 — règle des signes. Les règles des signes restent valables avec les fractions : le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires est négatif. Exemple : $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$ ; $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{4}$ .

Propriété 3 — carré et racine carrée. Pour tout $a \geq 0$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$ . Exemple : $(\sqrt{17})^2 = 17$ : un carré de côté $\sqrt{17}$ cm a une aire de 17 cm² exactement.

Propriété 4 — racine carrée et addition. Il n’y a pas de règle pour la somme : la racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines. Exemple : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , alors que $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . On calcule chaque racine séparément.

Propriété 5 — carrés parfaits de 0 à 12. À connaître par cœur (automatisme de 3ᵉ) :

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Ils donnent immédiatement $\sqrt{81} = 9$ , $\sqrt{144} = 12$ , mais aussi $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ ou $\sqrt{900} = 30$ .

Méthodes

Méthode 1 — calculer avec des fractions dans un problème.

Respecter les priorités : multiplication et division avant addition et soustraction.
Appliquer les règles de la Propriété 1 en restant en fractions jusqu’au bout ; la conversion en décimal n’intervient qu’à la fin, si on la demande.
Pour une fraction « du reste », calculer d’abord la fraction restante.

Exemple : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{20}{30} + \dfrac{9}{30} = \dfrac{29}{30}$ . Un cycliste qui a parcouru les $\frac{3}{5}$ d’un trajet de 45 km doit encore parcourir $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ du trajet, soit $\frac{2}{5} \times 45 = 18$ km.

Méthode 2 — comparer des rationnels.

Écrire les nombres sous la même forme : même dénominateur, ou écriture décimale.
Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui dont la distance à zéro est la plus grande.
Pour comparer une racine carrée à un décimal positif, comparer les carrés.

Exemple : $-\dfrac{3}{4} = -0{,}75$ et $-\dfrac{2}{3} \approx -0{,}667$ , donc $-\dfrac{3}{4} < -0{,}7 < -\dfrac{2}{3}$ . Et $6{,}3^2 = 39{,}69 < 40$ , donc $6{,}3 < \sqrt{40}$ .

Méthode 3 — donner la valeur exacte puis une valeur approchée.

Écrire la valeur exacte avec le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$ (Définition 2) et la garder dans les calculs suivants.
Ne passer à la calculatrice qu’à la toute fin, en respectant l’arrondi demandé (Définition 3).

Exemple : un carré a une aire de 17 cm². Son côté vérifie $c^2 = 17$ , donc $c = \sqrt{17}$ cm (valeur exacte) $\approx 4{,}12$ cm (valeur approchée au centième) ; au millimètre près, $c \approx 4{,}1$ cm.

Méthode 4 — encadrer une racine carrée.

Encadrer le nombre par deux carrés parfaits consécutifs (Propriété 5).
En déduire l’encadrement de la racine par les deux entiers correspondants.

Exemple : $36 < 40 < 49$ , donc $6 < \sqrt{40} < 7$ . À la calculatrice, $\sqrt{40} \approx 6{,}32$ .

Méthode 5 — résoudre un problème avec une racine carrée.

Repérer le carré à inverser (aire d’un carré, équation $x^2 = a$ , Pythagore) et écrire l’équation.
En déduire la longueur : $c = \sqrt{a}$ , en ne gardant que la valeur positive (Définition 2).
Terminer le problème (périmètre, coût…) avec la valeur exacte, puis arrondir (Méthode 3).

Exemple : un terrain carré a une aire de 900 m². Son côté vérifie $c^2 = 900$ , donc $c = \sqrt{900} = 30$ m (Propriété 5), et il faut $4 \times 30 = 120$ m de grillage pour le clôturer.

Pièges classiques

Une racine carrée n’est ni une division par 2, ni distributive sur l’addition. $\sqrt{16} = 4$ , pas 8 ; et $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (Propriété 4). Autres pièges : arrondir $\sqrt{17}$ à $4{,}1$ au début d’un problème, puis élever au carré et retrouver $16{,}81$ au lieu de 17 — garde la valeur exacte le plus longtemps possible (Méthode 3) ; et entre négatifs, l’ordre s’inverse par rapport aux distances à zéro : $-0{,}75 < -0{,}7$ (Méthode 2).

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