Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?

La sphère de centre O et de rayon r est la surface formée de tous les points situés à la distance r de O (comme la peau d'un ballon). La boule est le solide plein : tous les points situés à une distance inférieure ou égale à r de O. On calcule le volume d'une boule et on se repère sur une sphère.

Qu'est-ce qu'un grand cercle d'une sphère ?

C'est un cercle tracé sur la sphère qui a le même centre et le même rayon qu'elle : on l'obtient en coupant la sphère par un plan passant par son centre. Un diamètre de la sphère est un segment joignant deux points de la sphère en passant par le centre ; sa longueur est le double du rayon.

Quelle est la section d'un cylindre par un plan ?

Si le plan est perpendiculaire à l'axe, la section est un disque identique aux bases. Si le plan est parallèle à l'axe, la section est un rectangle dont un côté mesure la hauteur du cylindre et dont l'autre côté est d'autant plus long que le plan est proche de l'axe (au maximum le diamètre).

Géométrie dans l'espace

Définitions

Définition 1 — sphère et boule. La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points $M$ tels que $OM = r$ : c’est une surface (la peau du ballon). La boule de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points $M$ tels que $OM \leq r$ : c’est le solide plein. Exemple : on calcule le volume d’une boule, mais on se repère sur une sphère (comme sur la Terre).

Définition 2 — grand cercle et diamètre. Un grand cercle d’une sphère est un cercle tracé sur la sphère qui a le même centre et le même rayon qu’elle : c’est le bord de la section par un plan passant par le centre. Une sphère en possède une infinité (sur la Terre : l’équateur et les méridiens). Un diamètre est un segment joignant deux points de la sphère en passant par le centre ; sa longueur vaut $2r$ . Exemple : sphère de rayon $5$ cm — grands cercles de rayon $5$ cm, diamètre de $10$ cm.

Définition 3 — section d’un solide par un plan. Couper un solide par un plan produit une figure plane appelée section. Sa nature (rectangle, disque…) dépend du solide et de la position du plan. Exemple : couper une orange en deux donne une section en forme de disque.

Définition 4 — pyramide et cône. Une pyramide a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui se rejoignent en un même sommet : une pyramide à base carrée a 5 faces (1 carré, 4 triangles), 8 arêtes et 5 sommets. Un cône de révolution a pour base un disque et un sommet situé sur l’axe. Un patron de pyramide contient la base et autant de triangles que la base a de côtés, qui se rejoignent en un seul sommet une fois repliés. Exemple : une pyramide inscrite dans un cube (sommet au centre d’une face, base sur la face opposée) a une base carrée et des faces latérales isocèles.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — volumes des solides usuels.

Solide	Base	Volume
Cube de côté $a$	carré	$V = a^3$
Pavé droit $L \times l \times h$	rectangle	$V = L \times l \times h$
Prisme droit (base $\mathcal{B}$ , hauteur $h$ )	polygone	$V = \mathcal{A}(\mathcal{B}) \times h$
Cylindre de révolution (rayon $r$ , hauteur $h$ )	disque	$V = \pi r^2 h$
Pyramide (base $\mathcal{B}$ , hauteur $h$ )	polygone	$V = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(\mathcal{B}) \times h$
Cône de révolution (rayon $r$ , hauteur $h$ )	disque	$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
Boule de rayon $r$	—	$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Retenir l’idée : base × hauteur pour les solides « droits » (prisme, cylindre), le tiers pour les solides « pointus » (pyramide, cône), et le rayon au cube pour la boule. Exemple : cône de rayon $5$ cm et de hauteur $12$ cm : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ cm³ — on donne la valeur exacte avec $\pi$ , puis la valeur approchée demandée.

Propriété 2 — unités de volume. $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$ et $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}$ . Chaque passage d’unité de longueur (cm → dm → m) multiplie ou divise le volume par $1\,000$ . Exemple : $2\,500$ cm³ $= 2{,}5$ dm³ $= 2{,}5$ L.

Propriété 3 — sections d’un pavé et d’un cylindre.

Solide	Plan	Section
Pavé droit	parallèle à une face	rectangle identique à cette face
Cylindre	perpendiculaire à l’axe	disque identique à la base
Cylindre	parallèle à l’axe	rectangle dont un côté est la hauteur $h$

Pour le cylindre coupé parallèlement à l’axe, l’autre côté du rectangle est d’autant plus long que le plan est proche de l’axe : il vaut le diamètre $2r$ quand le plan contient l’axe. Exemple : cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm coupé par un plan contenant l’axe : rectangle de $6$ cm sur $10$ cm.

Propriété 4 — section d’une boule. La section d’une boule de rayon $r$ par un plan situé à la distance $d$ du centre est toujours un disque, de rayon $r'$ vérifiant $r'^2 = r^2 - d^2$ (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre $O$ de la boule, le centre $H$ de la section et un point $M$ de son bord). Cas limites : si $d = 0$ , le plan passe par le centre et la section est un grand cercle ( $r' = r$ ) ; si $d = r$ , le plan est tangent et la section se réduit à un point. Exemple : boule de rayon $5$ cm, plan à $3$ cm du centre : $r' = \sqrt{25 - 9} = 4$ cm.

Méthodes

Méthode 1 — calculer le volume d’un solide usuel.

Identifier le solide et sa formule dans la Propriété 1 ; repérer la hauteur (perpendiculaire à la base) et la base.
Remplacer par les valeurs, dans la même unité.
Donner la valeur exacte avec $\pi$ (par exemple $90\pi$ cm³), puis la valeur approchée demandée, avec l’unité au cube.

Exemple résolu : cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm : $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx 283$ cm³.

Méthode 2 — calculer le volume d’un assemblage.

Découper le solide en solides connus (cylindre + demi-boule, cube + pyramide…).
Calculer chaque volume (Méthode 1), en gardant les valeurs exactes avec $\pi$ .
Additionner (ou soustraire pour un évidement), puis arrondir à la fin seulement.

Exemple résolu : un silo est un cylindre (rayon $3$ m, hauteur $10$ m) surmonté d’une demi-boule de rayon $3$ m : $V = 90\pi + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339$ m³.

Méthode 3 — déterminer la nature et les dimensions d’une section.

Identifier le solide et la position du plan (parallèle à une face ? à l’axe ? perpendiculaire ?).
Lire la nature de la section dans la Propriété 3 (ou Propriété 4 pour une boule).
En donner les dimensions : face identique pour le pavé, rayon de la base pour le cylindre coupé perpendiculairement, hauteur × corde pour le cylindre coupé parallèlement à l’axe.

Exemple résolu : pavé droit $6 \times 4 \times 3$ cm coupé par un plan parallèle à la face $6 \times 4$ : la section est un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm, identique à cette face, quelle que soit la position du plan.

Méthode 4 — calculer le rayon de la section d’une boule.

Faire une vue en coupe : le centre $O$ , le centre $H$ du disque de section et un point $M$ de son bord forment un triangle rectangle en $H$ .
Appliquer la Propriété 4 : $r'^2 = r^2 - d^2$ , avec $r = OM$ (rayon de la boule) et $d = OH$ (distance du plan au centre).
Prendre la racine carrée.

Exemple résolu : boule de rayon $5$ cm, plan à $3$ cm du centre : $r'^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ , donc $r' = 4$ cm — un disque plus petit que le grand cercle.

Méthode 5 — convertir des unités de volume.

Repérer l’unité de départ et l’unité demandée (cm³, dm³, m³, L).
Utiliser la Propriété 2 : chaque « marche » (cm³ ↔ dm³ ↔ m³) vaut un facteur $1\,000$ , et $1$ L $= 1$ dm³.

Exemple résolu : un réservoir de $15\,708$ cm³ contient $15{,}708$ dm³, soit environ $15{,}7$ L.

Pièges classiques

Sphère ou boule ? Surface ou solide. On calcule le volume d’une boule ( $\frac{4}{3}\pi r^3$ , rayon au cube, pas $3r$ ), mais on parle des grands cercles d’une sphère. La section d’une boule est un disque (plein), dont le bord est un cercle.
Le tiers oublié. Pyramide et cône : ne pas oublier de diviser par 3 — un cône a un volume trois fois plus petit que le cylindre de même base et même hauteur.
Sections du cylindre. Plan perpendiculaire à l’axe → disque ; plan parallèle à l’axe → rectangle. Ne pas intervertir.
Unités. Un volume s’exprime en unités cubes ; pour les litres, passer par les dm³ ( $1$ L $= 1$ dm³), et ne mélanger ni cm ni m dans un même calcul.

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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