Quiz — Géométrie dans l'espace

Question 1 : Quel est le volume d'une boule de rayon $3$ cm ?

• ✓ $36\pi \approx 113$ cm³
• $9\pi \approx 28$ cm³
• $12\pi \approx 38$ cm³
• $108\pi \approx 339$ cm³

Explication : $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx 113$ cm³.

Question 2 : Quel est le volume d'un cône de révolution de rayon $5$ cm et de hauteur $12$ cm ?

• $20\pi \approx 63$ cm³
• $60\pi \approx 188$ cm³
• ✓ $100\pi \approx 314$ cm³
• $300\pi \approx 942$ cm³

Explication : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ cm³.

Question 3 : Quel est le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm ?

• $30\pi \approx 94$ cm³
• $60\pi \approx 188$ cm³
• $900\pi \approx 2827$ cm³
• ✓ $90\pi \approx 283$ cm³

Explication : $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx 283$ cm³.

Question 4 : On coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe. Quelle est la nature de la section ?

• ✓ Un disque de même rayon que la base
• Une ellipse
• Un triangle
• Un rectangle

Explication : Un plan perpendiculaire à l'axe est parallèle aux bases : la section est un disque identique à la base. Un plan parallèle à l'axe donnerait un rectangle.

Question 5 : On coupe une boule de rayon $5$ cm par un plan passant par son centre. Quelle est la section ?

• Un cercle de rayon $10$ cm
• ✓ Un disque de rayon $5$ cm
• Un disque de rayon inférieur à $5$ cm
• Un point

Explication : La section d'une boule par un plan est toujours un disque. Lorsque le plan passe par le centre, ce disque a le même rayon que la boule : son bord est un grand cercle. Plus le plan s'éloigne du centre, plus le rayon de la section est petit.

Question 6 : On coupe un pavé droit de dimensions $6 \times 4 \times 3$ cm par un plan parallèle à la face de dimensions $6 \times 4$. Quelle est la section ?

• ✓ Un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm
• Un rectangle de $6$ cm sur $3$ cm
• Un rectangle plus petit que la face
• Un carré de $4$ cm de côté

Explication : La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face, quelle que soit la position du plan : ici $6$ cm sur $4$ cm.

Question 7 : On coupe un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm par un plan parallèle à son axe et passant par cet axe. Quelle est la section ?

• ✓ Un rectangle de $6$ cm sur $10$ cm
• Un disque de rayon $3$ cm
• Un rectangle de $3$ cm sur $10$ cm
• Un cercle de rayon $3$ cm

Explication : Un plan parallèle à l'axe coupe le cylindre selon un rectangle dont un côté est la hauteur ($10$ cm). Comme le plan passe par l'axe, l'autre côté est un diamètre des bases : $2 \times 3 = 6$ cm. Un plan parallèle à l'axe mais plus éloigné donnerait un rectangle plus étroit.

Question 8 : Une sphère a pour rayon $5$ cm. Que peut-on dire de ses grands cercles et de son diamètre ?

• ✓ Les grands cercles ont un rayon de $5$ cm et le diamètre mesure $10$ cm
• Les grands cercles ont un rayon de $10$ cm et le diamètre mesure $5$ cm
• Un grand cercle a un rayon inférieur à $5$ cm
• Une sphère n'a qu'un seul grand cercle

Explication : Un grand cercle est la section de la sphère par un plan passant par son centre : il a le même centre et le même rayon que la sphère, soit $5$ cm. Il y en a une infinité (comme l'équateur et tous les méridiens sur la Terre). Un diamètre joint deux points de la sphère en passant par le centre : $2 \times 5 = 10$ cm.

Question 9 : On coupe une boule de rayon $5$ cm par un plan situé à $3$ cm de son centre. Quel est le rayon du disque obtenu ?

• $2$ cm
• ✓ $4$ cm
• $5$ cm
• $\sqrt{34}$ cm

Explication : Le centre $O$ de la boule, le centre $H$ de la section et un point $M$ du bord forment un triangle rectangle en $H$, avec $OM = 5$ (rayon de la boule) et $OH = 3$. Pythagore : $HM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$, donc $HM = 4$ cm. Le disque est plus petit que le grand cercle.

Question 10 : Un silo est formé d'un cylindre de rayon $3$ m et de hauteur $10$ m, surmonté d'une demi-boule de même rayon. Quel est son volume ?

• ✓ $108\pi \approx 339$ m³
• $90\pi \approx 283$ m³
• $96\pi \approx 302$ m³
• $126\pi \approx 396$ m³

Explication : Cylindre : $\pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$. Demi-boule : $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{1}{2} \times 36\pi = 18\pi$. Total : $90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339$ m³.