Quelle différence entre image et antécédent ?

Si $g(3) = 15$, alors $15$ est l'image de $3$ et $3$ est un antécédent de $15$. Un nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

Comment reconnaître une fonction linéaire ou affine ?

Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine, et elle traduit une situation de proportionnalité. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ : c'est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en $b$.

Comment résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ ou $f(x) \geq g(x)$ ?

On trace les deux droites. Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection. Les solutions de l'inéquation $f(x) \geq g(x)$ sont les abscisses pour lesquelles la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$. La lecture est approchée ; le calcul donne la valeur exacte.

Fonctions — BgMaths

Définitions

Définition 1 — fonction, image, antécédent. Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ , associe un seul nombre, noté $f(x)$ . On écrit $f : x \longmapsto f(x)$ : $x$ est la variable, $f(x)$ est l’image de $x$ . Si $g(3) = 15$ , alors $15$ est l’image de $3$ par $g$ , et $3$ est un antécédent de $15$ par $g$ . Exemple : $f(x) = 2x + 1$ : l’image de $3$ est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ , et $3$ est un antécédent de $7$ .

Définition 2 — modes de représentation d’une fonction. Une même fonction peut être donnée par une formule, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou une courbe dans un repère. Savoir passer d’un mode à l’autre est un attendu de fin de 3ᵉ.

Mode	Exemple pour $f(x) = 2x + 1$	Pour trouver une image
Formule	$f(x) = 2x + 1$	on remplace $x$ : $f(3) = 7$
Programme de calcul	« choisir un nombre, le doubler, ajouter 1 »	on exécute les étapes
Tableau de valeurs	ligne $x$ / ligne $f(x)$	on lit la colonne de $x$
Courbe	droite dans un repère	on lit l’ordonnée du point d’abscisse $x$

Exemple : tableau de valeurs de $f(x) = 2x + 1$ : pour $x = -2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3$ , on lit $f(x) = -3\,;\,-1\,;\,1\,;\,3\,;\,5\,;\,7$ .

Définition 3 — fonction linéaire. Une fonction linéaire s’écrit $f(x) = ax$ , où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité : $f(x)$ est proportionnel à $x$ , avec le coefficient $a$ . Exemple : un mobile se déplace à 5 m/s ; la distance parcourue en $x$ secondes est $d(x) = 5x$ .

Définition 4 — fonction affine. Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$ : $a$ est le coefficient directeur, $b$ est l’ordonnée à l’origine (on a $f(0) = b$ ). Une fonction linéaire est une fonction affine particulière ( $b = 0$ ). Exemple : $f(x) = 5x - 1$ est affine avec $a = 5$ et $b = -1$ ; elle n’est pas linéaire car $b \neq 0$ .

Définition 5 — fonction carré. La fonction carré associe à chaque nombre son carré : $f : x \mapsto x^2$ . Exemple : $f(3) = 9$ , $f(-3) = 9$ , $f(0) = 0$ : deux nombres opposés ont la même image.

Propriétés

Propriété 1 — une seule image, parfois plusieurs antécédents. Par une fonction, un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Exemple : par $g(x) = (3x + 6)(x - 9)$ , le nombre $0$ a deux antécédents, $-2$ et $9$ ; par la fonction carré, $-4$ n’a aucun antécédent.

Propriété 2 — droite d’une fonction linéaire. La représentation graphique d’une fonction linéaire $f(x) = ax$ est une droite passant par l’origine. Réciproquement, une droite passant par l’origine représente une situation de proportionnalité, dont le coefficient est le coefficient directeur $a$ . Exemple : la droite de $g(x) = -3x$ passe par $O(0\,;0)$ et par $(1\,;-3)$ .

Propriété 3 — droite d’une fonction affine. La représentation graphique d’une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;b)$ . Le coefficient directeur $a$ indique de combien $f(x)$ varie quand $x$ augmente de $1$ :

Allure de la droite	Coefficient directeur $a$
monte de gauche à droite	$a > 0$
descend de gauche à droite	$a < 0$
horizontale	$a = 0$

Exemple : la droite de $f(x) = 5x - 1$ passe par $(0\,;-1)$ et $(1\,;4)$ : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ augmente de $5$ .

Propriété 4 — coefficient directeur à partir de deux valeurs. Si $f$ est affine, alors pour deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ :

$a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

C’est l’accroissement de $f(x)$ divisé par l’accroissement de $x$ . Exemple : $f(1) = 3$ et $f(4) = 9$ : $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ .

Propriété 5 — la parabole de la fonction carré. La courbe de la fonction carré est une parabole : elle passe par l’origine, reste au-dessus de l’axe des abscisses ( $x^2 \geq 0$ ) et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car deux nombres opposés ont le même carré. Un nombre strictement positif a donc deux antécédents opposés, $0$ en a un seul et un nombre strictement négatif n’en a aucun. Exemple : les antécédents de $9$ sont $3$ et $-3$ : ce sont les solutions de l’équation $x^2 = 9$ , lues à l’intersection de la parabole et de la droite $y = 9$ .

Méthodes

Méthode 1 — calculer une image.

Remplacer $x$ par la valeur donnée dans la formule.
Calculer en respectant les priorités opératoires (le carré avant la multiplication).

Exemple résolu : image de $-2$ par $f(x) = 3x^2 - 7$ : $f(-2) = 3 \times (-2)^2 - 7 = 3 \times 4 - 7 = 5$ . Attention : $(-2)^2 = 4$ , positif.

Méthode 2 — déterminer un antécédent par le calcul.

Traduire « antécédent de $b$ » par l’équation $f(x) = b$ .
Résoudre l’équation : chaque solution est un antécédent de $b$ .

Exemple résolu : antécédent de $10$ par $f(x) = -3x - 4$ : $-3x - 4 = 10 \iff -3x = 14 \iff x = -\frac{14}{3}$ . Avec une équation-produit, antécédents de $0$ par $g(x) = (3x + 6)(x - 9)$ : $3x + 6 = 0$ ou $x - 9 = 0$ , soit $x = -2$ ou $x = 9$ : deux antécédents.

Méthode 3 — lire une image ou des antécédents sur un graphique.

Image de $a$ : partir de $a$ sur l’axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu’à la courbe, lire l’ordonnée du point.
Antécédents de $b$ : partir de $b$ sur l’axe des ordonnées, chercher tous les points de la courbe à cette hauteur, lire leurs abscisses.

Exemple résolu (figure) : sur la courbe de $f(x) = x^2 - 2x - 1$ , l’image de $3$ est $f(3) = 2$ ; les antécédents de $2$ sont les abscisses des points d’ordonnée $2$ , soit $-1$ et $3$ .

Méthode 4 — tracer la droite d’une fonction affine et lire ses coefficients.

Tracer : calculer deux images (par exemple $f(0)$ et $f(1)$ ), placer les deux points, tracer la droite.
Lire $b$ : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical.
Lire $a$ : partir d’un point de la droite, avancer de $1$ vers la droite et compter de combien la droite monte ( $a > 0$ ) ou descend ( $a < 0$ ).

Exemple résolu : pour $f(x) = 5x - 1$ : $f(0) = -1$ et $f(1) = 4$ , on place $(0\,;-1)$ et $(1\,;4)$ puis on trace. En lecture inverse : la droite coupe l’axe vertical en $-1$ (donc $b = -1$ ) et monte de $5$ quand $x$ augmente de $1$ (donc $a = 5$ ).

Méthode 5 — déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs.

Calculer $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ (Propriété 4).
Calculer $b = f(x_1) - a \times x_1$ .
Écrire $f(x) = ax + b$ et vérifier avec l’autre valeur.

Exemple résolu : $f(1) = 3$ et $f(4) = 9$ : $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ , puis $b = 3 - 2 \times 1 = 1$ , donc $f(x) = 2x + 1$ . Vérification : $f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9$ .

Méthode 6 — résoudre graphiquement une équation ou une inéquation.

Tracer les droites de $f$ et de $g$ dans le même repère.
$f(x) = g(x)$ : les solutions sont les abscisses des points d’intersection.
$f(x) \geq g(x)$ : les solutions sont les abscisses pour lesquelles la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$ (en dessous pour $f(x) < g(x)$ ).
La lecture graphique donne une valeur approchée ; le calcul donne la valeur exacte.

Exemple résolu : $f(x) = 2x - 1$ et $g(x) = -x + 5$ se coupent en $(2\,;3)$ : l’équation $f(x) = g(x)$ a pour solution $x = 2$ et l’inéquation $f(x) \geq g(x)$ a pour solutions $x \geq 2$ . Par le calcul : $2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2$ , et $2x - 1 \geq -x + 5 \iff x \geq 2$ . Pour résoudre $f(x) = 4$ , on trace la droite horizontale $y = 4$ : c’est la recherche graphique d’un antécédent.

Méthode 7 — modéliser une situation par une fonction.

Choisir la variable $x$ et exprimer la grandeur étudiée en fonction de $x$ .
Reconnaître le type de fonction : linéaire (proportionnalité), affine (partie fixe + partie proportionnelle), ou ni l’une ni l’autre.
Répondre à la question par un calcul d’image, d’antécédent ou une lecture graphique.

Exemple résolu : un rectangle a un périmètre de 30 cm et un côté de longueur $x$ . Le demi-périmètre vaut 15, l’autre côté mesure $15 - x$ , donc l’aire est $A(x) = x(15 - x) = 15x - x^2$ . Cette fonction n’est pas affine : sa courbe est une parabole retournée, et on lit sur le graphique que l’aire est maximale pour $x = 7{,}5$ (le rectangle est alors un carré).

Pièges classiques

Affine n’est pas linéaire. $f(x) = 5x + 1$ est affine mais pas linéaire : sa droite ne passe pas par l’origine, et $f(x)$ n’est pas proportionnel à $x$ ( $f(2) = 11$ n’est pas le double de $f(1) = 6$ ).
Image ou antécédent ? « Déterminer l’antécédent de $10$ » demande de résoudre $f(x) = 10$ (Méthode 2), pas de calculer $f(10)$ .
La fonction carré n’est pas une droite. Sa courbe est une parabole : elle n’est ni linéaire ni affine, et un nombre strictement positif a toujours deux antécédents opposés (Propriété 5).

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