Comment résoudre une équation du premier degré ?

On développe si besoin, on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre en ajoutant ou soustrayant la même quantité aux deux membres, puis on divise par le coefficient de $x$. Exemple : $4x - 8 = 7x + 4$ donne $-12 = 3x$, soit $x = -4$.

Comment résoudre une équation-produit ?

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour $(2x - 6)(x + 3) = 0$, on pose $2x - 6 = 0$ ou $x + 3 = 0$ : les solutions sont $3$ et $-3$.

Comment résoudre une inéquation du type $ax \geq b$ ?

On divise les deux membres par $a$. Si $a > 0$, le sens de l'inégalité est conservé : $3x \geq 12$ donne $x \geq 4$. Si $a < 0$, le sens change : $-3x \geq 12$ donne $x \leq -4$. Graphiquement, on trace la droite $y = ax$ et la droite horizontale $y = b$, et on lit les abscisses pour lesquelles la droite $y = ax$ est au-dessus de $y = b$.

Équations et inéquations

Définitions

Définition 1 — équation, solution. Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée $x$ . Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie ; résoudre, c’est trouver toutes les solutions. On peut toujours tester une valeur sans résoudre, en la substituant dans chaque membre. Exemple : $-2$ est-il solution de $x^2 + 3x = -2$ ? On remplace : $(-2)^2 + 3 \times (-2) = 4 - 6 = -2$ : oui.

Définition 2 — inéquation. Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue ; ses solutions forment en général tout un ensemble de nombres, représenté sur une droite graduée par une demi-droite. Exemple : les solutions de $3x \geq 12$ sont tous les nombres $x \geq 4$ : on colorie à partir de 4 vers la droite, en marquant 4 d’un crochet (il est solution).

Définition 3 — équation-produit. Une équation-produit est une équation de la forme $A \times B = 0$ , où $A$ et $B$ sont des expressions du premier degré. Exemple : $(2x - 6)(x + 3) = 0$ . Certaines équations le deviennent après factorisation : $x^2 - 64 = 0 \iff (x+8)(x-8) = 0$ .

Propriétés

Propriété 1 — opérations sur une égalité. Une équation est comme une balance : on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul, sans changer les solutions. Exemple : $x + 9 = 5 \iff x = -4$ ; $7x = 5 \iff x = \frac{5}{7}$ .

Propriété 2 — opérations sur une inégalité. Les mêmes opérations sont permises pour une inéquation, avec une règle de plus : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Exemple : $3x \geq 12 \iff x \geq 4$ , mais $-3x \geq 12 \iff x \leq -4$ . Vérification : avec $x = -5$ , $-3 \times (-5) = 15 \geq 12$ ✓ ; avec $x = 0$ , $0 \geq 12$ ✗.

Propriété 3 — produit nul. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

$A \times B = 0 \iff A = 0 \quad \text{ou} \quad B = 0$

Exemple : $(2x - 6)(x + 3) = 0$ a pour solutions $3$ et $-3$ .

Propriété 4 — solutions de l’équation x² = a.

Valeur de $a$	Solutions	Exemple
$a > 0$	deux : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$	$x^2 = 20 \iff x = \sqrt{20}$ ou $x = -\sqrt{20}$
$a = 0$	une seule : $0$	$x^2 = 0 \iff x = 0$
$a < 0$	aucune	$x^2 = -9$ : impossible, un carré n’est jamais négatif

Exemple : le côté d’un carré d’aire 17 cm² vérifie $c^2 = 17$ ; une longueur étant positive, on ne garde que $c = \sqrt{17} \approx 4{,}1$ cm.

Méthodes

Méthode 1 — résoudre une équation du premier degré.

Développer chaque membre si besoin.
Regrouper les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre (Propriété 1).
Réduire, puis diviser par le coefficient de $x$ .
Vérifier en remplaçant dans l’équation de départ.

Exemple : $4x - 8 = 7x + 4$ : $-8 - 4 = 7x - 4x$ , donc $-12 = 3x$ et $x = -4$ ; vérification : $4 \times (-4) - 8 = -24$ et $7 \times (-4) + 4 = -24$ ✓. Avec développement : $5(7 - 2{,}2x) = 9 - 6x$ donne $35 - 11x = 9 - 6x$ , puis $26 = 5x$ et $x = 5{,}2$ . Avec des fractions : $\frac{x+1}{2} = \frac{x-1}{3}$ : on multiplie les deux membres par 6, $3(x+1) = 2(x-1)$ , soit $x = -5$ .

Méthode 2 — résoudre une inéquation du type ax ≥ b.

Diviser les deux membres par $a$ (Propriété 2) : si $a < 0$ , retourner l’inégalité.
Représenter les solutions sur une droite graduée (demi-droite, crochet sur la borne).
Contrôler avec une valeur test.

Exemple : $-3x \geq 12 \iff x \leq -4$ : on divise par $-3 < 0$ , le sens change. Test : $x = -5$ donne $15 \geq 12$ ✓.

Méthode 3 — résoudre graphiquement.

Équation $ax + b = cx + d$ : tracer les deux droites $y = ax + b$ et $y = cx + d$ ; la solution est l’abscisse du point d’intersection.
Inéquation $ax \geq b$ : tracer la droite $y = ax$ et l’horizontale $y = b$ ; les solutions sont les abscisses pour lesquelles la droite $y = ax$ est au-dessus (ou au niveau) de $y = b$ .
La lecture graphique donne une valeur approchée ; le calcul donne la valeur exacte.

Exemple : pour $3x - 7 = 2x + 5$ , les droites se coupent en $x = 12$ . Pour $2x \geq 6$ , la droite $y = 2x$ dépasse $y = 6$ à droite du point d’abscisse 3 : $x \geq 3$ . Pour $-3x \geq 12$ , la droite $y = -3x$ descend : elle est au-dessus de $y = 12$ à gauche du point d’intersection, d’où $x \leq -4$ — le graphique explique le changement de sens.

Méthode 4 — résoudre une équation-produit.

Si le produit n’est pas apparent, tout ramener à zéro puis factoriser (facteur commun ou identité remarquable).
Appliquer la Propriété 3 : poser chaque facteur égal à zéro.
Résoudre chaque petite équation (Méthode 1) et donner toutes les solutions.

Exemple : $(2{,}5x - 7)(8x - 9{,}6) = 0$ : $2{,}5x = 7 \iff x = 2{,}8$ et $8x = 9{,}6 \iff x = 1{,}2$ : les solutions sont $2{,}8$ et $1{,}2$ . Après factorisation : $3x^2 - 5x = 0 \iff x(3x - 5) = 0 \iff x = 0$ ou $x = \frac{5}{3}$ .

Méthode 5 — résoudre l’équation x² = a.

Par le calcul : appliquer la Propriété 4 selon le signe de $a$ — et ne pas oublier la solution négative.
Graphiquement : tracer la parabole $y = x^2$ et la droite horizontale $y = a$ ; les solutions sont les abscisses des points d’intersection : deux points symétriques si $a > 0$ , un seul (l’origine) si $a = 0$ , aucun si $a < 0$ .

Exemple : $x^2 = 20 \iff x = \sqrt{20}$ ou $x = -\sqrt{20}$ ; la lecture graphique donne $\pm 4{,}5$ environ, le calcul donne la valeur exacte.

Méthode 6 — raisonner par analyse-synthèse.

Analyse : « si $x$ est une solution, alors… » — on transforme l’équation pour trouver les valeurs possibles (les candidats), chaque étape devant être valide.
Synthèse : on vérifie que chaque candidat est bien solution, en le substituant dans l’équation de départ (Définition 1).
Se méfier des étapes qui perdent ou ajoutent des solutions, comme la division par une expression qui peut s’annuler.

Exemple : pour $x^2 = 5x$ , diviser par $x$ donne le candidat $5$ … mais suppose $x \neq 0$ , et $0$ est aussi solution ( $0 = 0$ ). L’analyse correcte est $x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0$ (Méthode 4), et la synthèse vérifie $0$ et $5$ .

Méthode 7 — mettre un problème en équation.

Choisir l’inconnue et l’écrire clairement (« soit $x$ le nombre cherché »).
Traduire l’énoncé en une équation.
Résoudre (analyse, Méthodes 1 à 5).
Vérifier (synthèse, Méthode 6) et répondre à la question posée, avec l’unité.

Exemple : un jardinier paie 545 € d’eau par an ; un récupérateur coûte 199 €, fait économiser 55 € par an et demande 13 € d’entretien par an. Rentable quand $55n = 199 + 13n$ , soit $42n = 199$ et $n = \frac{199}{42} \approx 4{,}7$ : au cours de la 5ᵉ année. Autre exemple : « le triple d’un nombre diminué de 7 vaut le double de ce nombre augmenté de 5 » : $3x - 7 = 2x + 5 \iff x = 12$ ; synthèse : $36 - 7 = 29 = 24 + 5$ ✓.

Pièges classiques

Diviser par $x$ fait perdre une solution, diviser par un négatif retourne une inéquation. Pour $x^2 = 5x$ , simplifier par $x$ fait oublier $x = 0$ : la bonne méthode est $x(x - 5) = 0$ (Méthode 4 et Méthode 6). Pour $-3x \geq 12$ , la solution est $x \leq -4$ et non $x \geq -4$ (Propriété 2) : teste toujours une valeur pour t’en assurer. Enfin, $x^2 = 20$ a deux solutions : ne pas oublier $-\sqrt{20}$ (Propriété 4).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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