Quiz — Équations

Question 1 : Quelles sont les solutions de l'inéquation $-3x \geq 12$ ?

• $x \geq -4$
• ✓ $x \leq -4$
• $x \geq 4$
• $x \leq 4$

Explication : On divise les deux membres par $-3$, nombre négatif : le sens de l'inégalité change. $x \leq 12 \div (-3)$, soit $x \leq -4$. Vérification avec $x = -5$ : $-3 \times (-5) = 15 \geq 12$, vrai ; avec $x = 0$ : $0 \geq 12$, faux.

Question 2 : Quelle est la solution de $4x - 8 = 7x + 4$ ?

• $x = 4$
• ✓ $x = -4$
• $x = \frac{4}{3}$
• $x = -\frac{4}{11}$

Explication : $4x - 8 = 7x + 4 \iff -8 - 4 = 7x - 4x \iff -12 = 3x \iff x = -4$. Vérification : $4 \times (-4) - 8 = -24$ et $7 \times (-4) + 4 = -24$.

Question 3 : On a tracé la droite $y = 2x$ et la droite $y = 6$. Comment lit-on graphiquement les solutions de l'inéquation $2x \geq 6$ ?

• ✓ Ce sont les abscisses des points où la droite $y = 2x$ est au-dessus de $y = 6$ : $x \geq 3$
• C'est l'ordonnée du point d'intersection : $y = 6$
• Ce sont les abscisses où $y = 2x$ est en dessous de $y = 6$ : $x \leq 3$
• Il n'y a qu'une solution, $x = 3$

Explication : Les deux droites se coupent au point d'abscisse $3$. À droite de ce point, la droite $y = 2x$ est au-dessus de la droite $y = 6$ : $2x \geq 6$ pour $x \geq 3$. Par le calcul : $x \geq 6 \div 2 = 3$.

Question 4 : Quelles sont les solutions de $(2x - 6)(x + 3) = 0$ ?

• ✓ $3$ et $-3$
• $-3$ seulement
• $6$ et $-3$
• $3$ et $3$

Explication : Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$ ; $x + 3 = 0$ donne $x = -3$.

Question 5 : Pour résoudre $x^2 = 5x$, un élève écrit : « si $x$ est solution, alors en divisant par $x$ on obtient $x = 5$ ». Que manque-t-il à son raisonnement ?

• Rien, la solution est $5$
• ✓ La synthèse : vérifier que $5$ convient, et remarquer que la division par $x$ suppose $x \neq 0$ ; or $0$ est aussi solution
• Il fallait diviser par 5 et non par $x$
• L'équation n'a pas de solution

Explication : L'analyse (« si $x$ est solution, alors… ») ne donne que des candidats, et diviser par $x$ suppose $x \neq 0$. La synthèse consiste à vérifier : $5^2 = 25 = 5 \times 5$, donc $5$ convient ; mais $0^2 = 0 = 5 \times 0$ aussi. Méthode sûre : $x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0$, solutions $0$ et $5$.

Question 6 : Quelles sont les solutions de $x^2 = 20$ ?

• $\sqrt{20}$ seulement
• $10$ et $-10$
• ✓ $\sqrt{20}$ et $-\sqrt{20}$
• $400$

Explication : Deux nombres opposés ont le même carré : $x = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ ou $x = -\sqrt{20} \approx -4{,}47$. Graphiquement, ce sont les abscisses des deux points où la parabole $y = x^2$ coupe la droite $y = 20$.

Question 7 : Combien l'équation $x^2 = -9$ possède-t-elle de solutions ?

• Deux : $3$ et $-3$
• Une : $-3$
• ✓ Aucune
• Une : $3$

Explication : Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir $-9$. L'équation n'a pas de solution.

Question 8 : La facture d'eau d'un jardinier est de 545 € par an. Un récupérateur d'eau coûte 199 € à l'achat, fait économiser 55 € par an et coûte 13 € d'entretien par an. Quelle équation traduit « l'installation est rentable au bout de $n$ années » ?

• ✓ $55n = 199 + 13n$
• $545n = 199 + 13n$
• $55n = 199 - 13n$
• $55 = 199n + 13$

Explication : En $n$ années, l'économie est $55n$ €, et la dépense est $199 + 13n$ €. Rentable quand $55n = 199 + 13n$, soit $42n = 199$, $n \approx 4{,}7$ : à partir de la 5ème année.

Question 9 : Le triple d'un nombre diminué de 7 vaut 2 fois ce nombre augmenté de 5. Quel est ce nombre ?

• ✓ $12$
• $-12$
• $2$
• $\frac{12}{5}$

Explication : On pose $x$ le nombre : $3x - 7 = 2x + 5$, d'où $3x - 2x = 5 + 7$, soit $x = 12$. Vérification : $36 - 7 = 29$ et $24 + 5 = 29$.

Question 10 : Le nombre $-2$ est-il solution de l'équation $x^2 + 3x = -2$ ?

• ✓ Oui, car $4 - 6 = -2$
• Non, car $4 + 6 = 10$
• Non, car $-4 - 6 = -10$
• On ne peut pas savoir sans résoudre

Explication : On remplace $x$ par $-2$ : $(-2)^2 + 3 \times (-2) = 4 - 6 = -2$. L'égalité est vraie, donc $-2$ est solution. Tester une valeur ne demande pas de résoudre.