Comment factoriser $x^2 - 64$ ?

C'est une différence de deux carrés : $x^2 - 8^2 = (x + 8)(x - 8)$. La règle est $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Comment simplifier un rapport comme $\frac{12x^2}{8x}$ ?

On écrit numérateur et dénominateur sous forme de produits et on barre les facteurs communs : $\frac{12x^2}{8x} = \frac{4x \times 3x}{4x \times 2} = \frac{3x}{2}$ (pour $x \neq 0$). C'est exactement la simplification d'une fraction, avec des lettres en plus.

Calcul littéral

Définitions

Définition 1 — somme et produit d’expressions. La nature d’une expression littérale est donnée par sa dernière opération : $3x + 2$ est une somme, $5(x + 4)$ est un produit. Exemple : $(x+1)(x-2)$ est un produit de deux facteurs ; $x^2 - 2x$ est une somme (de deux termes).

Définition 2 — opposé d’une expression. L’opposé d’une expression s’obtient en la multipliant par $-1$ : chaque terme change de signe. Exemple : $-(3x - 7) = -3x + 7$ , qu’on peut aussi écrire $7 - 3x$ ; et $-(5 - 4x) = -5 + 4x$ .

Définition 3 — développer, factoriser, réduire. Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit ; réduire regroupe les termes de même degré (d’abord les $x^2$ , puis les $x$ , puis les constantes). Exemple : $3(2x+1) = 6x + 3$ (développement) ; $5a + 15b = 5(a + 3b)$ (factorisation) ; $10x^2 + 14x - 15x - 21 = 10x^2 - x - 21$ (réduction).

Propriétés

Propriété 1 — simplification des produits et des rapports. Dans un produit, on regroupe les facteurs numériques entre eux, puis les lettres ; dans un rapport, on barre les facteurs communs au numérateur et au dénominateur (pour un facteur non nul), exactement comme pour une fraction. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes.

$2x \times 5x = 10x^2 \qquad 3a \times 4b \times 2a = 24a^2b \qquad \frac{12x^2}{8x} = \frac{4x \times 3x}{4x \times 2} = \frac{3x}{2} \qquad \frac{5(x+1)}{10} = \frac{x+1}{2}$

Vérification avec $x = 2$ : $\dfrac{12 \times 4}{16} = 3$ et $\dfrac{3 \times 2}{2} = 3$ . En revanche, $\dfrac{x + 3}{3}$ ne se simplifie pas (avec $x = 3$ : $2 \neq 3$ ).

Propriété 2 — distributivité simple. $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$ , dans les deux sens (développer ou factoriser). Exemple : $3(2x + 1) = 6x + 3$ ; $-4x(6 - 3x) = -24x + 12x^2$ .

Propriété 3 — double distributivité. $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde — quatre produits, puis on réduit. Exemple : $(2x - 3)(5x + 7) = 10x^2 + 14x - 15x - 21 = 10x^2 - x - 21$ .

Propriété 4 — différence de deux carrés. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ , dans les deux sens. En développant, les termes croisés s’annulent : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$ . Exemple : $(x + 6)(x - 6) = x^2 - 36$ (développement) ; $4x^2 - 49 = (2x + 7)(2x - 7)$ (factorisation, avec $4x^2 = (2x)^2$ et $49 = 7^2$ ).

L’aire bleue vaut $a^2 - b^2$ ; en découpant et recollant la bande du haut, on forme un rectangle de côtés $a + b$ et $a - b$ .

Propriété 5 — carrés d’une somme et d’une différence. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Le double produit $2ab$ ne disparaît jamais. Elles se retrouvent par double distributivité (Propriété 3). Exemple : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ ; $(x - 8)^2 = x^2 - 16x + 64$ .

Méthodes

Méthode 1 — supprimer une parenthèse précédée d’un moins.

Remplacer le moins devant la parenthèse par la multiplication par $-1$ : chaque terme change de signe (Définition 2).
Réduire l’expression obtenue (Définition 3).

Exemple : $3(2x + 1) - (6 - x) = 6x + 3 - 6 + x = 7x - 3$ . Le signe moins transforme $-x$ en $+x$ .

Méthode 2 — simplifier un produit ou un rapport.

Écrire numérateur et dénominateur (ou les facteurs du produit) sous forme de produits, en regroupant nombres et lettres.
Barrer les facteurs communs (Propriété 1), en supposant les facteurs barrés non nuls.
Vérifier en remplaçant la lettre par une valeur simple.

Exemple : $\dfrac{6ab}{9b} = \dfrac{3b \times 2a}{3b \times 3} = \dfrac{2a}{3}$ (pour $b \neq 0$ ) ; $\dfrac{12x^2}{8x} = \dfrac{3x}{2}$ (pour $x \neq 0$ ).

Méthode 3 — développer et réduire.

Appliquer la distributivité (Propriété 2), la double distributivité (Propriété 3) ou une identité remarquable (Propriétés 4 et 5).
Réduire en regroupant les termes de même degré (Définition 3).

Exemple : $(x + 3)(x - 2) - x^2 = x^2 - 2x + 3x - 6 - x^2 = x - 6$ : les termes en $x^2$ s’annulent.

Méthode 4 — factoriser.

Facteur commun ? $\to$ $12x^2 - 15x = 3x(4x - 5)$ (Propriété 2 lue à l’envers).
Identité remarquable ? $\to$ différence de deux carrés : $4x^2 - 49 = (2x+7)(2x-7)$ (Propriété 4) ; ou carré parfait : repérer deux carrés ( $x^2$ et $25 = 5^2$ ) et vérifier le double produit ( $10x = 2 \times x \times 5$ ) : $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ (Propriété 5).
Vérifier en redéveloppant : une factorisation qui ne redonne pas l’expression de départ est fausse.

Exemple : $9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2$ , car $(3x)^2 = 9x^2$ , $2^2 = 4$ et $2 \times 3x \times 2 = 12x$ .

Méthode 5 — démontrer avec des lettres.

Nommer les nombres : un entier pair s’écrit $2n$ , un impair $2n + 1$ , deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ .
Traduire l’énoncé en une expression, développer et réduire (Méthode 3), puis factoriser si besoin (Méthode 4) pour faire apparaître la conclusion.
Retenir que tester quelques valeurs n’est pas une preuve ; le calcul littéral couvre tous les nombres d’un coup.

Exemple : la somme de trois entiers consécutifs $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$ est toujours un multiple de 3. Programme de calcul : « choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre de départ, soustraire le carré du nombre » : $(x + 3) \times x - x^2 = x^2 + 3x - x^2 = 3x$ , toujours le triple du nombre choisi.

Pièges classiques

$(a - b)^2$ n’est pas $a^2 - b^2$ . $(x - 8)^2 = x^2 - 16x + 64$ (Propriété 5, avec le double produit), alors que $x^2 - 64 = (x + 8)(x - 8)$ (Propriété 4). La différence de deux carrés vient d’un produit de deux facteurs différents — l’un avec $+$ , l’autre avec $-$ ; un carré, lui, fait apparaître le double produit. Autre erreur : simplifier des termes au lieu de facteurs — $\dfrac{12x^2}{8x} = \dfrac{3x}{2}$ , mais $\dfrac{x + 3}{3}$ ne se simplifie pas (Propriété 1).

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