Comment rendre une fraction irréductible ?

On décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie par tous les facteurs communs. $\frac{140}{340} = \frac{2^2 \times 5 \times 7}{2^2 \times 5 \times 17} = \frac{7}{17}$.

Comment trouver un dénominateur commun à deux fractions ?

On cherche un multiple commun des deux dénominateurs, le plus petit possible : pour $\frac{5}{12}$ et $\frac{7}{18}$, les multiples de 12 sont 12, 24, 36… et 36 est aussi un multiple de 18. On écrit alors $\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$.

Comment savoir vite si un nombre est divisible par 3 ou par 9 ?

On additionne ses chiffres : si la somme est un multiple de 3, le nombre est divisible par 3 ; si elle est un multiple de 9, il est divisible par 9. Par 2 : dernier chiffre pair. Par 5 : dernier chiffre 0 ou 5.

Arithmétique : facteurs premiers et divisibilité

Définitions

Définition 1 — diviseur et multiple. Dire que $a$ est un diviseur de $b$ (ou que $b$ est un multiple de $a$ ), c’est dire que la division de $b$ par $a$ tombe juste : $b = a \times q$ avec $q$ entier. Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ; les premiers multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48…

Définition 2 — nombre premier. Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\ldots$ Attention : 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur), et 2 est le seul nombre premier pair.

Définition 3 — fraction irréductible. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont aucun facteur commun (autre que 1). Exemple : $\frac{11}{5}$ est irréductible ; $\frac{66}{30}$ ne l’est pas, car 66 et 30 sont tous deux divisibles par 6. Le fait qu’une fraction soit supérieure à 1 ou que ses termes soient impairs n’a aucune importance.

Propriétés

Propriété 1 — critères de divisibilité. Un entier est divisible :

par	si…	Exemple
$2$	son dernier chiffre est pair	$306$
$3$	la somme de ses chiffres est un multiple de 3	$51$ ( $5 + 1 = 6$ )
$5$	son dernier chiffre est 0 ou 5	$185$
$9$	la somme de ses chiffres est un multiple de 9	$153$ ( $1 + 5 + 3 = 9$ )

Exemple : $87$ n’est pas premier, car $8 + 7 = 15$ est un multiple de 3 : $87 = 3 \times 29$ .

Propriété 2 — décomposition en facteurs premiers. Tout entier supérieur à 1 s’écrit comme produit de facteurs premiers, et cette écriture est unique (à l’ordre des facteurs près). Exemple : $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ ; $124 = 2^2 \times 31$ ; $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Propriété 3 — simplification par un facteur commun. Pour tout facteur $k$ non nul, $\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}$ : barrer un facteur commun au numérateur et au dénominateur ne change pas la valeur de la fraction. Exemple : $\dfrac{66}{30} = \dfrac{11 \times 6}{5 \times 6} = \dfrac{11}{5}$ .

Propriété 4 — dénominateur commun. Pour additionner, soustraire ou comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur : un multiple commun des deux dénominateurs, le plus petit possible. Exemple : pour $\frac{5}{12}$ et $\frac{7}{18}$ , le plus petit multiple commun de 12 et 18 est 36. Le produit $12 \times 18 = 216$ convient aussi, mais il oblige à simplifier à la fin.

Méthodes

Méthode 1 — décomposer en facteurs premiers.

Diviser par 2 tant que c’est possible, puis par 3, puis par 5, 7, 11… (les nombres premiers dans l’ordre).
S’arrêter quand le quotient vaut 1, puis regrouper les facteurs égaux avec des exposants (Propriété 2).

$306$	$2$	$2220$	$2$
$153$	$3$	$1110$	$2$
$51$	$3$	$555$	$3$
$17$	$17$	$185$	$5$
$1$		$37$	$37$

Exemple : $306 = 2 \times 3^2 \times 17$ et $2220 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 37$ . Un tableur ou un programme Scratch peut automatiser ces divisions : « tant que $n$ est divisible par $d$ , diviser et afficher $d$ ; sinon passer au $d$ suivant ».

Méthode 2 — reconnaître un nombre premier.

Tester la divisibilité par 2, 3, 5 avec les critères (Propriété 1), puis par 7, 11…
S’arrêter dès qu’un nombre premier $p$ vérifie $p \times p > n$ : si aucun diviseur n’a été trouvé avant, $n$ est premier.

Exemple : $53$ n’est divisible ni par 2, ni par 3 ( $5 + 3 = 8$ ), ni par 5, ni par 7 ( $7 \times 7 = 49$ , $53 = 7 \times 7 + 4$ ) ; inutile d’aller plus loin car $11 \times 11 = 121 > 53$ : il est premier.

Méthode 3 — rendre une fraction irréductible.

Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers (Méthode 1).
Barrer tous les facteurs communs (Propriété 3) ; il reste la forme irréductible (Définition 3).

$\frac{140}{340} = \frac{2^2 \times 5 \times 7}{2^2 \times 5 \times 17} = \frac{7}{17} \qquad\qquad \frac{12}{51} = \frac{2^2 \times 3}{3 \times 17} = \frac{4}{17}$

Raccourci : quand numérateur et dénominateur sont dans une même table de multiplication, inutile de tout décomposer : $\dfrac{63}{14} = \dfrac{7 \times 9}{7 \times 2} = \dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{15}{35} = \dfrac{5 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{3}{7}$ .

Méthode 4 — additionner ou comparer deux fractions.

Chercher le plus petit multiple commun des dénominateurs : parcourir les multiples du plus grand, ou utiliser les décompositions (Propriété 4).
Écrire les deux fractions avec ce dénominateur en multipliant aussi les numérateurs, puis additionner ou comparer.

Exemple : multiples de 12 : 12, 24, 36… multiples de 18 : 18, 36… donc $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{29}{36}$ . Comparaison : $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ , donc $\dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}$ .

Méthode 5 — résoudre un problème de rencontre (multiples communs).

Repérer les phrases « se reproduire ensemble », « revenir à la position initiale » : on cherche un multiple commun des périodes.
Parcourir les multiples de la plus grande période jusqu’au premier qui soit multiple de toutes les autres (ou s’appuyer sur les décompositions).

Exemple : trois feux clignotent toutes les 4, 6 et 10 secondes et s’allument ensemble à l’instant 0. Multiples de 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60 ; le premier divisible par 4 et par 6 est $60$ s — ce que confirment les décompositions : $2^2 \times 3 \times 5 = 60$ .

Autre exemple : un engrenage a deux roues de 12 et 18 dents. Elles reprennent leur position initiale après un nombre de dents multiple de 12 et de 18, soit 36 : 3 tours de la petite roue, 2 tours de la grande.

Méthode 6 — résoudre un problème de partage (diviseurs communs).

Repérer les phrases « répartir en parts identiques », « sans reste », « le plus grand possible » : on cherche un diviseur commun des quantités.
Décomposer les nombres (Méthode 1) et prendre les facteurs communs.

Exemple : peut-on ranger 306 billes en sachets de 9 sans reste ? $3 + 0 + 6 = 9$ : oui, $306 = 9 \times 34$ (Propriété 1). En sachets de 4 ? $306 = 2 \times 153$ et 153 est impair : non. Pour répartir 24 roses et 36 tulipes en bouquets identiques, le plus grand nombre de bouquets est le plus grand diviseur commun de 24 et 36, soit 12.

Pièges classiques

Multiple commun ou diviseur commun ? Le contexte décide. « Répartir en parts identiques », « simplifier une fraction » → diviseur commun. « Se produire à nouveau ensemble », « dénominateur commun », « revenir à la position initiale » → multiple commun. Dans le doute : un diviseur est plus petit que les nombres de départ, un multiple est plus grand. Autres pièges : 1 n’est pas premier (Définition 2) ; pour additionner deux fractions, on n’additionne jamais les dénominateurs ( $\frac{5}{12} + \frac{7}{18} \neq \frac{12}{30}$ ) ; et quand on change de dénominateur, on multiplie aussi le numérateur.

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